Disuguaglianza di interpolazione (da Gilbarg, Trudinger)

[Peolo]

Mi potreste dire come si risolve l' Esercizio 2.15 da Gilbarg, Trudinger "elliptic partial differential equations of second order" : Let $U \subset \mathbb{R}^n$ be an open and bounded domain Let $u \in C^2(\bar{U}), u=0$ on $\partialU \in C^1.$ Prove the interpolation inequality: for every $\epsilon >0 :\int_U | Du | ^2 dx \leq \epsilon \int_U(\Delta u)^2 dx +(1/(4\epsilon)) \int_U u^2 dx.$

metto qui il mio tentativo : scriviamo $|Du|^2 = <Du,Du>$ e ora usiamo la prima formula di Green $\int_U Du \cdot Du dx$ =$ -\int_U u \Delta u dx + \int_{\partial U} \frac{\partial u}{\partial\nu}u dS$ poi pero non so come continuare

[Peolo]

penso di avere fatto qualche passo in avanti: l'integrale sul bordo di $U$ svanisce perche $u$ e' zero sul bordo, inoltre con $-xy \leq x^2/2 + y^2/2$ che ricaviamo da $(x+y)^2=x^2+y^2+2xy \geq 0$ e che vale per i numeri reali otteniamo $-ab \leq - (\sqrt{\epsilon}a)(b/\sqrt{\epsilon})\leq\epsilon a^2/2 + b^2/(2\epsilon)\leq\epsilona^2+b^2/(4\epsilon)$. Pero non so se possiamo trattare $u$ e $\Delta u$ come numeri reali. In generale non si tratta di Vettori in $\mathbb{R}^n$ ???? ho terminato con la dimostrazione o ho fatto errori?

[Seneca]

L'idea mi sembra corretta (degli $\epsilon$ a secondo membro nella formula che compare nel primo post: il secondo a denominatore, vero?) e immagino che con $u$ venga indicata una funzione scalare.

Comunque prendendo $x = \sqrt{2 \epsilon} \Delta u$ e $y = \frac{u}{\sqrt{2 \epsilon}}$ hai che
\[ - u \Delta u \le \epsilon \Delta u + \frac{u^2}{4 \epsilon}.\]

[Peolo]

si, ho sistemato l' $\epsilon$. Il fatto che $u$ sia una funzione scalare non penso sia specificato da nessuna parte ( $u \in C^0(\bar{U])$ penso significhi che abbia come dominio un sottoinsieme $U$ di $\mathbb{R}^n$ ma non c'e' scritto quale e' il codominio. Inoltre $\Delta u$ cioe l'operatore di Laplace di u cosa e'? un vettore? un numero reale? se non fossero numeri reali la diseguaglianza sopra mostrata non e' applicabile su $u \Delta u$

[Seneca]

Uno può desumere dal contesto cosa intendesse l'estensore dell'esercizio. Visto che compare l'integrale delle quantità $u^2$ e $(\Delta u)^2$ (cos'è il quadrato di un vettore?) credo sia implicito che sia $u$ sia una funzione scalare. Sui complessi non ha tanto senso fare quella disuguaglianza, quindi direi che $u$ è intesa a valori reali.