Esercizio sul metodo di Perron per l'equazione di Laplace

[Peolo]

Let $U \subset \mathbb{R}^n$ be an open, bounded domain and let $\Phi$ be a bounded function on $\partialU$. Let $S^\Phi$ denote the set of superfunctions relative to $\Phi$, that is $S^\Phi =\{v \in C^0(\bar{U}): v$ is superharmonic and $v \geq \Phi$ on $\partialU\}.$
Show that the function $u(x)=$inf$_{v \in S^\Phi} v(x)$ is harmonic.
Ho letto quasi tutto quello che si trova online sul metodo di perron (la dimostrazione pero viene fatta solo per il sup, che tralaltro non capisco). Potreste aiutarmi a capire questa dimostrazione passo per passo? grazie