set completi e convergenza

[Maxandri]

Si consideri il set di funzioni di \[L^2 (-\infty, +\infty):f_{n}(x)=\frac{1}{1+(nx)^2}\]
1.Il set è completo?
2.La successione converge in norma L^2 alla funzione nulla?
Posto che ho molta confusione sui set, come faccio a trovare una funzione che non mi dia la funzione nulla? Devo mandare all'infinito sia n che x? Ma allora anche x moltiplicata alla f fa a 0 e risulta ortogonale!
E un set completo è solo sin e cos?
Mi fate degli esempi? Se non è completo è denso?
La norma viene risolta con i residui ma considerando il polo doppio +i/n a me viene \[in^2\pi/2\]
invece dovrebbe venire \[\sqrt{\pi/2n}\] che chiaramente tende a 0.
????

[Delirium]

[...] 2.La successione converge in norma L^2 alla funzione nulla? [...]

Sì. \[\frac{1}{1 + (nx)^2} \le \frac{1}{1+x^2} \]per ogni \(n \in \mathbb{N}\) e poi si usa il teorema della convergenza dominata.
Delle altre domande non si capisce nulla.

[Maxandri]

La prima domanda è se il set è completo. Chiedevo anche se mi potete spiegare cos'è il set e come si dimostra che è completo in generale.
La seconda viene risolta diversamente, facendo il lim della radice dell'integrale di f. Per risolvere l'integrale il prof usa i residui ma a me viene un risultato diverso.