Calcolo delle Variazione:Esercizio esistenza e unicità di un minimo

[mklplo]

Quindi poiché $u_0$ dipende dalle condizioni al contorno anche l'esistenza stessa del minimo dipende da esse?

[gugo82]

Ripeto...

Leggiti per bene l'enunciato del teorema di esistenza. [...]
C'è scritto che per qualche funzione $u_0$ il teorema non vale?

[mklplo]

Da quello che capisco il teorema vale per ogni $u_0$

[gugo82]

E dunque?
Ti pare che l'esistenza del minimo dipenda dalle condizioni al bordo?

[mklplo]

E quindi il minimo esiste indipendentemente dalle condizioni al bordo,giusto?
Se non ti dispiace,potresti rispondere a queste ultime domande:
Il termine $q$ che appare nel teorema va ricavato con la disuguaglianza di Holder?
\( \alpha,\beta,\gamma \) possono assumere valori in $x$?(la domanda mi sorgeva perchè in un funzionale come $intu/xdx$,l'integrando sarebbe convesso se e solo se $beta<=1/x$)
Se avessi un funzionale del tipo $intsin(dot(u))dx$,poichè sparisce il termine con la potenza come si dovrebbe provare l'esistenza o non del minimo?

[gugo82]

E quindi il minimo esiste indipendentemente dalle condizioni al bordo,giusto?

Se sono condizioni del tipo $u=u_0$, sì.

Se non ti dispiace,potresti rispondere a queste ultime domande:
Il termine $q$ che appare nel teorema va ricavato con la disuguaglianza di Holder?

Dipende... Possono servire anche altri trucchi.

\( \alpha,\beta,\gamma \) possono assumere valori in $x$?(la domanda mi sorgeva perchè in un funzionale come $intu/xdx$,l'integrando sarebbe convesso se e solo se $beta<=1/x$)

No.
Le quantità $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ sono costanti.

Per quanto riguarda il funzionale che citi, se non aggiungi l'intervallo base il simbolo \(\int \frac{u(x)}{x}\ \text{d} x\) non significa nulla... Il funzionale potrebbe anche non essere definito in uno spazio buono.

Se avessi un funzionale del tipo $intsin(dot(u))dx$,poichè sparisce il termine con la potenza come si dovrebbe provare l'esistenza o non del minimo?

Ci si deve pensare.
Però, se non specifichi le condizioni che hai imposto, non si può dire nulla.

[mklplo]

Ti ringrazio nuovamente per le tue risposte,per quanto riguarda l'ultimo punto provo a riformulare:
\( \int_a^bsin(\dot{u})|u \in C^1((a,b)) \) e \( \int_a^b{\frac{u}{x}}|u \in C^1((a,b)) \) ,con $u(a)=0$ e $u(b)=1$(per tutti e due i problemi)
spero che vada bene,e se non ti dispiace potresti rispondere ad un'altra domanda?
Io so che il funzionale
\( \int_a^bu-\sqrt{(1+\dot{u}^2)} |u \in C^1((a,b)) \)
ha un minimo,però quanto lo provo a dimostrare ottengo
\( u-\sqrt{1+\dot{u}^2}\geq \dot{u}+\gamma \)
che non mi sembra vera,spero nel tuo aiuto,sempre se non ti reca disturbo.

[gugo82]

Il funzionale:
\[
I[u]:=\int_a^b \frac{u(x)}{x}\ \text{d} x\; ,
\]
con $a<b$ ambedue positivi o negativi (perché?), non è limitato inferiormente in $X:=\{ u\in C("["a,b"]"): u(a)=0,u(b)=1\}$ nemmeno se lo paghi (perché?); quindi il minimo non ce l'ha.

Per il funzionale:
\[
J[u]:=\int_a^b \sin u^\prime (x)\ \text{d} x
\]
la situazione tendo a credere che la situazione sia abbastanza diversa e, forse, un po' più legata alla "geometria" dell'intervallo base.
Quello che si può dire immediatamente è che $J$ è limitato inferiormente, perché \(J[u]\geq a-b\), quindi il problema di minimizzarlo è ben posto.
Inoltre, osservato che per ogni $n\in \NN$ "abbastanza grande" esiste una funzione $u_n$ di classe $C^1$ che soddisfa la condizione al bordo e tale che:
\[
u_n^\prime (x)= - \frac{\pi}{2} \quad \text{per } x\in [a,b-\frac{1}{n}]
\]
(ad esempio, si può prendere come $u_n$ la funzione il cui grafico è segmento che unisce i punti $A:=(a,0)$ e $P_n:=(b-1/n, -pi/2(b-a-1/n))$ raccordato in modo liscio ad un arco di parabola che unisce $P_n$ a $B:=(b,1)$); per ognuna di tali $u_n$ abbiamo:
\[
\begin{split}
J[u_n] &= \int_a^{b-1/n} \underbrace{\sin \left( -\frac{\pi}{2}\right)}_{{\color{red} = -1}}\ \text{d} x + \int_{b-1/n}^b \underbrace{\sin u_n^\prime (x)}_{{\color{red} \leq 1}}\ \text{d} x\\
&\leq \int_a^{b-1/n} (-1)\ \text{d} x + \int_{b-1/n}^b 1\ \text{d} x\\
&=a-b+\frac{1}{n} + \frac{1}{n}\\
&= a-b+\frac{2}{n}
\end{split}
\]
cosicché:
\[
\lim_n J[u_n] = a-b
\]
per il Teorema dei Carabinieri. Quindi certamente è \(\displaystyle \inf_{u\in X} J[u] = a-b\).
Tendo però a credere che non sempre $J$ abbia minimo in $X$ e che, anche se c'è, non sempre gli estremanti siano di classe $C^1$, poiché temo si possa fare una costruzione simile a quella del classico controesempio di Bolza del CdV.

[mklplo]

Ti ringrazio,quindi non c'è una regola generale per capire se un funzionale del genere presenta o meno un minimo?

[gugo82]

Il teorema di esistenza c'è ed è quello che ti ho scritto altrove.

Tuttavia, non tutti i funzionali ne soddisfano le ipotesi e perciò non sempre il teorema si può applicare.