Funzione polidroma e serie di Laurent

[v3ct0r]

Buongiorno a tutti! Ho un dubbio su un esercizio di metodi matematici della fisica, per il quale spero possiate darmi qualche consiglio. Riporto integralmente il testo:

Calcolare i coefficienti $c_{-1}$ $c_0$ e $c_1$ dello sviluppo di Laurent con centro $z_0 = 2/sqrt(3) +2i$ della funzione $f(z) = sqrt(z) log(z) 1/{z^2+4}$ in tutte le regioni in cui lo sviluppo esiste, sapendo che $log(-1)=3 pi i$ e
$sqrt(-1)=e^{i 3/2 pi}$ e che il taglio coincide con il semiasse reale positivo

Ora, il mio problema è che non sono certo di aver interpretato correttamente l’esercizio. Mi spiego meglio:

La funzione data è analitica nel punto $z_0$ perciò dovrei avere semplicemente una serie di Taylor centrata nel punto $z_0$ con raggio di convergenza $r=2/sqrt(3)$ (cioè fino alla singolarità più vicina). Dunque $c_{-1}=0$ e un mucchio di conti da fare per ottenere $c_0$ e $c_1$.
Dovrei avere poi una serie di Laurent, nella regione $2/sqrt(3) < |z-z_0| < 2$ (quindi fino al taglio) per la quale posso calcolare i coefficienti attraverso la formula integrale
$c_n = 1/{2 pi i} int_C {f(z)}/(z-z_0)^{n+1} dz$

Tuttavia non sono sicuro che la consegna sia davvero questa, in particolare non capisco dove interverrebbe la polidromia della funzione. Quindi il mio dubbio è: ho ragionato correttamente, oppure sto trascurando qualcosa?

[anonymous_0b37e9]

Si tratta di determinare due sviluppi in serie:



$[|z-z_0| lt 2/sqrt3] vv [2/sqrt3 lt |z-z_0| lt 4/sqrt3]$

Inoltre, poiché le due condizioni $[log(-1)=3\pii] ^^ [sqrt(-1)=e^(i3/2\pi)]$ determinano univocamente il foglio di Riemann, il fatto che la funzione sia polidroma si riduce ad avere un punto di diramazione in $[z=0]$.

[v3ct0r]

Grazie per la risposta, Sergeant Elias. Io ero convinto che i punti sul taglio dovessero essere considerati punti singolari. Quindi invece, avendo determinato il foglio di Riemann, lo sviluppo non si arresta sul taglio, ma continua fino al punto di diramazione.

Però non capisco: anche avendo determinato il foglio di Riemann (e avendo quindi individuato una funzione monodroma, tra le varie determinazioni della funzione polidroma), non dovrebbe esserci comunque una discontinuità tra bordo superiore e inferiore del taglio, per la funzione monodroma individuata?
Cioè, nel caso in questione, quale valore devo assegnare alla scrittura $log(1)$, il valore $2 pi i$ (bordo superiore) o il valore $4 pi i$ (bordo inferiore)?

[anonymous_0b37e9]

... non dovrebbe esserci comunque una discontinuità tra bordo superiore e inferiore del taglio ...

Hai senz'altro ragione, se si rimane sullo stesso foglio di Riemann.

... poiché le due condizioni $[log(-1)=3\pii] ^^ [sqrt(-1)=e^(i3/2\pi)]$ determinano univocamente il foglio di Riemann ...

Avendo scritto ciò di cui sopra, se non voglio cadere in contraddizione con me stesso, dovrei argomentare rimanendo sullo stesso foglio di Riemann. Tuttavia, quando ho allegato l'immagine sottostante:



ho ritenuto che lo sviluppo nella corona circolare corrispondente al 2° foglio di Riemann possa essere esteso, per continuazione analitica, al 1° foglio di Riemann. Del resto, nel passare dal primo al secondo foglio sotto il taglio, non sono presenti discontinuità. Vero è che non sto argomentando rimanendo sullo stesso foglio di Riemann. Per sicurezza bisognerebbe determinare lo sviluppo completo e verificarne la validità anche in quel segmento circolare appartenente al 1° foglio di Riemann. Veramente, sarebbe doveroso, in base a considerazioni puramente teoriche e senza il calcolo esplicito, affermare a priori se l'ipotesi è formalmente corretta. Propenderei per la sua validità, visto che una serie di potenze è caratterizzata da un raggio di convergenza (potrebbe essere proprio questa la considerazione teorica di cui sopra).

... quale valore devo assegnare alla scrittura $log1$ ...

Senz'altro $[log1=2\pii]$.

[v3ct0r]

Ok, adesso penso di aver capito. In effetti la continuazione analitica attraverso il taglio probabilmente è la soluzione corretta. Un breve ripasso della teoria mi ha confermato che il teorema di cauchy e il teorema dei residui valgono anche "sconfinando" da un foglio all'altro, a patto di riuscire a chiudere il percorso di integrazione (cosa che qui posso fare agevolmente attraversando il taglio due volte) perciò anche per il calcolo dei coefficienti non dovrebbero esserci problemi. Credo di non avere altre domande. Grazie infinite!