Calcolare i coefficienti $c_{-1}$ $c_0$ e $c_1$ dello sviluppo di Laurent con centro $z_0 = 2/sqrt(3) +2i$ della funzione $f(z) = sqrt(z) log(z) 1/{z^2+4}$ in tutte le regioni in cui lo sviluppo esiste, sapendo che $log(-1)=3 pi i$ e
$sqrt(-1)=e^{i 3/2 pi}$ e che il taglio coincide con il semiasse reale positivo
Ora, il mio problema è che non sono certo di aver interpretato correttamente l’esercizio. Mi spiego meglio:
La funzione data è analitica nel punto $z_0$ perciò dovrei avere semplicemente una serie di Taylor centrata nel punto $z_0$ con raggio di convergenza $r=2/sqrt(3)$ (cioè fino alla singolarità più vicina). Dunque $c_{-1}=0$ e un mucchio di conti da fare per ottenere $c_0$ e $c_1$.
Dovrei avere poi una serie di Laurent, nella regione $2/sqrt(3) < |z-z_0| < 2$ (quindi fino al taglio) per la quale posso calcolare i coefficienti attraverso la formula integrale
$c_n = 1/{2 pi i} int_C {f(z)}/(z-z_0)^{n+1} dz$
Tuttavia non sono sicuro che la consegna sia davvero questa, in particolare non capisco dove interverrebbe la polidromia della funzione. Quindi il mio dubbio è: ho ragionato correttamente, oppure sto trascurando qualcosa?