Integrale con funzione ausiliaria

[Archwing]

Ciao a tutti. Ho un problema con il seguente integrale

$\int_{0}^{+\infty}{1}/{x^3+a^3}dx$

dove $a>0$

Vi riporto il procedimento che ho seguito.

Prendo la funzione ausiliaria $f(z)={log(z)}/{x^3+a^3}$

Le singolarità (poli semplici) sono:

$z_{0}=a(1/2+i{\sqrt{3}}/{2})$

$z_{1}=-a$

$z_{2}=a(1/2-i{\sqrt{3}}/{2})$

Mentre i residui sono

$Res(f(z),z_{0})={ln(a)+i\pi/3}/{a^2(-3/2+i{\sqrt{3}}/{2})}$

$Res(f(z),z_{1})={ln(a)+i\pi}/{a^2}$

$Res(f(z),z_{2})={ln(a)+i{5\pi}/3}/{a^2(-3/2-i{\sqrt{3}}/{2})}$

La loro somma equivale a

$\sum_{k=0}^{2}Res(f(z),z_{k})={2ln(a)}/{3a^2}-{2\pi}/{3\sqrt{3}a^2}+i{2\pi}/{3a^2}$

La discontinuità del ramo monodromo del logaritmo è $\Delta(log(x))=-2\pii$

Poi integro lungo un cammino di tipo "Pacman", passando al limite e applicando i lemmi del piccolo e del grande cerchio

$-2\pii\int_{0}^{+\infty}{1}/{x^3+a^3}dx=2\pii*Re(\sum_{k=0}^{2}Res(f(z),z_{k}))$

Allora $\int_{0}^{+\infty}{1}/{x^3+a^3}dx=-{2ln(a)}/{3a^2}+{2\pi}/{3\sqrt{3}a^2}$

Invece il risultato dovrebbe essere solo ${2\pi}/{3\sqrt{3}a^2}$

Potete, per favore, dirmi dove ho sbagliato ed aiutarmi ad arrivare al risultato giusto?

[anonymous_0b37e9]

Il procedimento è senz'altro corretto. Infatti:

$\int_{r}^{R}lnx/(x^3+a^3)dx+\int_{C_(R)}f(z)dz-\int_{r}^{R}(lnx+2\pii)/(x^3+a^3)dx+\int_{C_(r)}f(z)dz=2\pii\sum_{k=1}^3Res[f(z),z_k]$

Inoltre, passando al limite:

$\int_{0}^{+oo}1/(x^3+a^3)dx=-\sum_{k=1}^3Res[f(z),z_k]$

A questo punto, puoi aver sbagliato solo il calcolo dei residui. Tra l'altro, la somma dei residui deve essere reale.

P.S.
Per esempio: $[Res[f(z),-a]=(lna+i\pi)/(3a^2)]$

[Archwing]

Grazie. Ho rifatto i calcoli, di conseguenza i residui corretti sono:

$Res(f(z),z_{0})={ln(a)+i\pi/3}/{a^2(-3/2+i{3\sqrt{3}}/{2})}$

$Res(f(z),z_{1})={ln(a)+i\pi}/{3a^2}$

$Res(f(z),z_{2})={ln(a)+i{5\pi}/3}/{a^2(-3/2-i{3\sqrt{3}}/{2})}$

La loro somma è semplicemente $\sum_{k=0}^{2}Res(f(z),z_{k})=-{2\pi}/{3\sqrt{3}a^2}$

Quindi $\int_{0}^{+\infty}{1}/{x^3+a^3}dx=-Re[\sum_{k=0}^{2}Res(f(z),z_{k})]={2\pi}/{3\sqrt{3}a^2}$ con $a>0$

Grazie ancora e alla prossima.

[dissonance]

Ho una osservazione da fare. Si può considerare \(a=1\), semplificando un po' il calcolo, perché
\[
\int_{0}^\infty \frac{dx}{x^3+a^3}=\frac1{a^2}\int_0^\infty \frac{dx}{x^3+1}.\]
Mi pare infatti che l'errore di calcolo iniziale sia dovuto proprio al parametro \(a\).