Avrò un sacco di cose da chiedere visto che ho iniziato a studiarla da poco e questo è un mese dove giustamente i prof vanno in vacanza
Dovrei risolvere questo esercizio.
Es. Siano $ X $ uno spazio di Banach su $ \mathbb{K} (=\mathbb{R}\text{ o }\mathbb{C}) $, $ Y\subseteqX $ un sottospazio chiuso , $ x\inX $.
E' vero che esiste $ y_x\inY $ tale che $ \norm{x-y_x}_X=dist(x,Y) $ dove $ dist(x,Y)=\text{inf}\{\norm{x-y}_X :y\inY \} $?
Sicuramente se lo spazio X fosse solo metrico sarebbe falso. Basta prendere $ X=(-1,0]\cup(0,1] $, $ Y=(0,1] $ che è chiuso in X, $ x=-1 $ e vedere che $ \text{inf}\{|y+1| :y\in(0,1] \}=1 $ ma $ |y+1|\ne 1\qquad\forally\in(0,1] $ ma mi da l'idea che valga negli spazi di Banach.
