Dato uno spazio vettoriale $E$, consideriamo il suo spazio duale $E^{\star}$, cioè lo spazio dei funzionali lineari continui su $E$. Si definisce norma duale in $E^{\star}$ la seguente funzione:
\[ ||f||_{E^{\star}}= \sup_{\substack{||x|| \leq 1 \\ x \in E}} |f(x)|= \sup_{\substack{||x|| \leq 1 \\ x \in E}} f(x)
\]
Mi viene un dubbio, probabilmente stupido: come facciamo ad essere certi che esista $ \text{sup } f(x)$? Per definizione di norma deve essere un numero reale diverso da infinito giusto?