Norma duale

[maxsiviero]

Dato uno spazio vettoriale $E$, consideriamo il suo spazio duale $E^{\star}$, cioè lo spazio dei funzionali lineari continui su $E$. Si definisce norma duale in $E^{\star}$ la seguente funzione:
\[ ||f||_{E^{\star}}= \sup_{\substack{||x|| \leq 1 \\ x \in E}} |f(x)|= \sup_{\substack{||x|| \leq 1 \\ x \in E}} f(x)

\]

Mi viene un dubbio, probabilmente stupido: come facciamo ad essere certi che esista $ \text{sup } f(x)$? Per definizione di norma deve essere un numero reale diverso da infinito giusto?

[killing_buddha]

Se (e solo se) $E$ è di dimensione finita la palla unitaria è compatta. Immagino quindi ti serva saperlo quando $E$ è di dimensione infinita.

[Raptorista]

\(f\) è un funzionale lineare e continuo o, equivalentemente, limitato.

[Luca.Lussardi]

Se ho ben capito la tua domanda le risposte date mi sembra non c'entrino: tu ti stai chiedendo, se leggo bene, chi ti garantisce che esista il sup di $f$. Ebbene, tale oggetto esiste sempre, quando ha senso ovviamente ($f$ a valori reali e' sufficiente).

[maxsiviero]

Sì, in effetti il mio dubbio era sull'esistenza del sup di $f$ ovvero sulla limitatezza di $f(x)$. A questo punto ho risolto. Grazie a tutti.

[Raptorista]

@Luca: è vero che il sup esiste sempre, tuttavia mi sembrava che la domanda fosse implicitamente sull'esistenza di un sup finito.

[Luca.Lussardi]

Si, c'è infatti un fraintendimento mi sa, il sup esiste sempre ma potrebbe fare $+\infty$.