Passaggio complessi-reali per integrali.

[ViolaC]

Buonasera! Svolgendo alcuni esercizi di analisi complessa mi sono resa conto di non capire i passaggi in cui, per calcolare un integrale reale, si passa a studiare il corrispettivo con variabile complessa: immagino di avere qualche lacuna ma non riesco ad identificarla, anche perché conosco le identità in questione, e spero mi possiate aiutare.
Porto alcuni esempi:
1) Nello studio di
$ int_(-oo )^(oo )sin x/ (x(x^2+1)) dx $
dopo aver verificato la sommabilità, lo svolgimento fatto in classe fa considerare la funzione analoga con variabile z invece che x e nel farlo la funzione $ sin x $ diventa $ e^(iz) $. Attraverso quali passaggi?
2) Negli integrali di Fresnel
$ int_(0)^(oo )sin x^2 dx $ , $ int_(0)^(oo )cos x^2 dx $
non capisco il passaggio a $ e^(-z^2) $. Potrei capire il passaggio a $ e^(iz^2) $ (ovviamente considerando o la parte reale o quella immaginaria), ma non riesco a farmi una ragione di quanto detto prima e la pagina di Wikipedia al riguardo mi confonde.

Spero i dubbi non siano troppo sciocchi, siate clementi.
Grazie!

[killing_buddha]

Non è che $\sin x$ "diventa" $e^{iz}$; piuttosto è che $e^{ix}$ (con $x$ reale) è uguale a $\cos x + i\sin x$.

[dissonance]

È una cosa che non ho mai padroneggiato nemmeno io. Secondo me è tutta questione di pratica, MOLTA pratica.

Spero i dubbi non siano troppo sciocchi, siate clementi.
Grazie!

Una domanda fatta bene non è mai una domanda sciocca, anche se magari la risposta è facile. Osservando le matematiche e i matematici bravi che ho avuto la fortuna di incontrare, mi sono accorto che tutte e tutti non si fanno problemi a chiedere, anche se la domanda sembra "sciocca", infischiandosene degli eventuali frizzi e lazzi.

[ViolaC]

Non è che $\sin x$ "diventa" $e^{iz}$; piuttosto è che $e^{ix}$ (con $x$ reale) è uguale a $\cos x + i\sin x$.

Mmh, quindi dici che l'identità utilizzata è $ e^{ix} = \cos x + i\sin x $? Così non avrei da fare due passaggi alla parte reale e complessa? Mi spiego: ovviamente sull'asse R $e^{iz}$ è equivalente a $e^{ix}$ (con x reale e z complesso) e questo è il primo passaggio che è obbligato, dato che ho bisogno di una funzione a variabile complessa per risolvere l'integrale; una volta risolto l'integrale usando i residui e i teoremi "dei cerchi", probabilmente otterrò un risultato complesso e quindi, data l'identità scritta sopra, dovrei prenderne la parte immaginaria (secondo passaggio). Corretto? Ho paura di essermi persa qualche passaggio puramente logico.
Grazie ad entrambi per le risposte e la gentilezza comunque