Teorema Convergenza Dominata con convergenza uniforme

[johnhappy]

Ciao a tutti! Sono alla ricerca di una versione del Teorema della Convergenza Dominata dove la convergenza puntuale è sostituita da quella uniforme in un parametro $\tau$, cioè vorrei un qualcosa di simile al seguente:

Sia $\mu$ una misura finita su $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ e ${f_n(t,\tau)}_{n\in N}$ successione di funzioni in $L^1(\mu)$ tale che $\lim_{n\to \infty} f_n(t,\tau)= f(t,\tau)$ uniformemente in $\tau$ (e puntualmente in $t$). Se $|f_n(t,\tau)|<c$ per ogni $n,t,\tau$, allora $\lim_{n} \int f_n(t,\tau) d\mu=\int f(t,\tau) d\mu$ uniformemente in $\tau$.

Sarei interessato a capire se tutto ciò possa essere vero perché ho difficoltà a trovarne una dimostrazione.
Grazie mille a tutti per l'aiuto!