CarmineF ha scritto:Allora vediamo, io ho dimostrato la congettura così come riporto di seguito. Vorrei un parere e capire se le cose funzionano davvero.
Tesi: Se $f: RR \to CC$ è di Schwartz allora anche $\int_(x-1/2)^(x+1/2)f(y)dy$ è di Schwartz.
Dimostrazione: A meno di un cambio di variabili posso considerare l'integrale $\int_(x-1)^(x)f(y)dy$ e, essendo $RR$ dato dall'unione di intervalli chiusi a 2 a 2 privi di punti interni in comune, posso considerare la restrizione di $f$, $\bar f: [x-1, x] \to CC$.
Poiché per ipotesi $f$ è di Schwartz allora anche $\bar f$ è di Schwartz, cioè $\bar f in C^(oo)$ e $AA n, m in NN_0 EE A_(n,m)>0 : \text {sup} |x^m f^((n))|<= A_(n,m)$.
$\bar f$ di Schwartz $rArr \bar f$ continua, integrabile e limitata $rArr$ (per il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale) $\bar f$ ammette primitiva $F(x) = \int_(x-1)^(x)\bar f(y)dy$ che è anch'essa continua e differenziabile.
Ho capito cosa vuoi dire, ma ti faccio notare che le funzioni di classe Schwartz devono essere definite su tutto \(\mathbb R\). Su un intervallo limitato, tutte le funzioni \(C^\infty\) verificano la proprietà che hai scritto. La cosa importante è che *le costanti $A_{n,m}$ (come le chiami tu) sono indipendenti dall'intervallo considerato*.
Veniamo al dunque.
Dimostriamo allora che $F$ è di Schwartz, cioè che $AA n, m in NN_0 EE A_(n,m)>0 : \text {sup} |x^m F^((n))|<= A_(n,m)$.
Se $n = 0 rArr AA m in NN_0 \text { sup} |x^m F|<= \text {sup}_{y in [x-1, x]}|x^m f| <= A_(0,m)$.
Se $n > 0 rArr AA m in NN_0 \text { sup} |x^m F^((n))|= \text {sup}|x^m f^(n-1)| <= A_(n-1,m)$, dunque $F$ è di Schwartz.
Qui si vede come sia importante che le costanti siano indipendenti dall'intervallo. Per come hai scritto tu nel quote precedente, \(A_{n, m}\) sembrano dipendere da \(x\), il che ti romperebbe le uova nel paniere qui alla fine.
In ogni caso anche se potrebbe essere scritto meglio e più sinteticamente, è corretto.
