Luca.Lussardi ha scritto:Ti correggo qualche punto.lo92muse ha scritto:Dunque dalla teoria inizierei a dire che $f(x,y)=4y-y^2$ è una funzione $in C' (mathbb(R)^2,mathbb(R) )$
ok, quindi posso applicare il teorema di esistenza e unicita' locale per ogni $y_0$.lo92muse ha scritto:Allora esistono soluzioni locali in un sottoinsieme di $mathbb(R)$.
Direi meglio che per ogni $y_0\in\mathbb R$ esiste ed e' unica la soluzione massimale.lo92muse ha scritto:Inoltre $y=0$ ed $y=4$ sono soluzioni se $y_0=0$ ed $y_0=4$ nel'ordine.
Le uniche soluzioni costanti sono $y=0$ e $y=4$ con dati iniziale rispettivamente $y_0=0$ e $y_0=4$. Qui approfitterei per aggiungere che se $y_0\in (0,4)$ allora l'unica soluzione massimale $y$ corrispondente e' definita su tutto $\mathbb R$ e si ha $0<y<4$ dappertutto.lo92muse ha scritto:Se $y_0<0$ anche $y$ sarà $<0$
Se $y_0>2$ anche $y>2$
Forse il secondo caso e' col 4 e non col 2.
Puoi adesso continuare lo studio della soluzione con dato $y_0\in (0,4)$ andando a dimostrare che e' crescente (credo), trovando i limiti a $\pm\infty$, vedere se ha dei flessi ecc...
Piu' difficile: studiare le soluzioni con dato $y_0<0$ e $y_0>4$.
Tutto chiarissimo grazie alle annotazioni.
Esattamente, qualche dubbio in più su come sia meglio procedere mi viene quando devo studiare la soluzione quando $y_0$ è al di fuori di $[0,4]$, in particolare quando $y_0$ è negativo o maggiore di $4$. Soprattutto se devo disegnarne poi il grafico (mi ritrovo con due variabili in teoria, $x$ ed $y_0$ che devo fare variare).
Ho dimotrato che è crescente nell'intervallo $[0,4]$ grazie alla valutazione dei punti critici, così come ho capito che decresce al di fuori, sia che sia negativa che maggiore di $4$.
Fatto questo passerei alla soluzione $y(x)$ tramite l'integrazione e la separazione delle variabili, ed è qui, nel doverne disegnare il grafico il problema. Ho diverse inormazioni, ma vorrei capire una procedura il più formale possibile per arrivare ad una valutazione grafica.
Sto ragionando bene? Grazie mille come sempre.