Problema di Cauchy.

[lo92muse]

Non capisco gli ultimi passaggi: da $\log(x/y)=a$ trovi $x/y=e^a$...

Ho applicato la funzione esponenziali ad entrambi i membri

$log(x/y)=a$

$e^(log(x/y))=e^a$

$x/y=e^a$

Ricordo che era possibile una trasformazione di questo tipo. E' possibile? Grazie mille.

[Luca.Lussardi]

Cosi' e' giusta infatti, ma non e' cio' che avevi scritto.

[lo92muse]

Cosi' e' giusta infatti, ma non e' cio' che avevi scritto.

Se è giusta allora dovrebbe anche tornare


$log(y/(4-y))=log(y_0/(4-y_0))+2x$

$y/(4-y) = y_0/(4-y_0)+e^(2x)$

Al di la del fatto che $2x$ non sia corretto per gli estremi di integrazione. Mi sto ora concentrando per essere certo di aver chiaro il passaggio algebrico.

Infatti ho scomposto il logaritmo per la proprietà che ho appena trascritto sopra (sostituendo alla formula generale $x=y$ e $y=4-y$) e poi applicato la funzione esponenziale ad entrambi i membri.
Mi potresti confermare che è corretto? Grazie mille per la disponibilità.

[Luca.Lussardi]

Ci risiamo con le proprieta' delle potenze... sei sicuro di aver applicato correttamente la proprieta' citata poco sopra?

[Pazzuzu]

Ho un dubbio, sei sicuro che $y_0 \in [0,4] $ ?

[lo92muse]

Ci risiamo con le proprieta' delle potenze... sei sicuro di aver applicato correttamente la proprieta' citata poco sopra?

Sono sincero, sto impazzendo a trovare l'errore. Per la mia logica è corretto, ma se mi contraddici sarà sicuramente sbagliato. Mi potresti esplicitare il calcolo corretto? Non per pigrizia, ma vorrei vedere cosa sbaglio. Grazie mille per la disponibilità.

[lo92muse]

Ho un dubbio, sei sicuro che $y_0 \in [0,4] $ ?

Ciao, la richiesta del problema è di esplicitare le soluzioni, in particolare per $y_0 \in [0,4]$.
Devo anche tracciare un grafico delle soluzioni al variare di $y_0$, ma la cosa più importante è trovare la soluzione in quanto poi il grafico viene di conseguenza.
Ho sbagliato gli estremi dell'integrale a destra, come mi è stato suggerito nei post precedenti. Per il resto l'idea ti sembra corretta? Grazie mille.

[Luca.Lussardi]

Da $log(y/(4-y))=log(y_0/(4-y_0))+2x$ non hai $y/(4-y) = y_0/(4-y_0)+e^(2x)$ ma $y/(4-y) = y_0/(4-y_0)e^(2x)$: $e^{x+y}=e^xe^y$.

[lo92muse]

Da $log(y/(4-y))=log(y_0/(4-y_0))+2x$ non hai $y/(4-y) = y_0/(4-y_0)+e^(2x)$ ma $y/(4-y) = y_0/(4-y_0)e^(2x)$: $e^{x+y}=e^xe^y$.

Sul primo membro non ci piove. Sul secondo continuo ad avere dubbi. In particolare su $e^(2x):e^(x+y)$. Infatti se torno indietro non riesco a trovare la forma di partenza

Inoltre presumo che l'ultima uguaglianza da te scritta sia $e^(2x):e^(x+y)=e^xe^y$

Ma non sarebbe

$e^(2x)/(e^xe^y)=e^x/e^y$

Grazie ancora per la disponibilità.

[Luca.Lussardi]

Erano due punti di ortografia, non una divisione... era solo per ricordarti che proprieta' delle potenze hai ignorato fino ad adesso.