Trasformata di Fourier

[keyz23]

Buongiorno, sto sbattendo la testa su questa benedetta Trasformata di Fourier.. Ho davanti questo esercizio:
$ f(x)=e^(-4x^2) $
E devo calcolare la trasformata di Fourier.
Da quanto ho capito per calcolare la trasformata di Fourier posso fare:
$ F[f(t),omega ]= int_(-infty)^(infty) e^(-iomegat)f(t) dt = int_(-infty)^(infty) e^(-iomegat)e^(-4t^2 dt $
E quindi calcolare $ F[f(t),omega ]= int_(-infty)^(infty) e^(-t(iomega+4t))dt $

( Oppure poiché in questo caso la mia funzione è pari posso calcolarla come $ F[f(t),omega ]= 2 int_(0)^(infty) e^(-4t^2)cos(omegat)dt $ )

C'è qualcuno che mi può guidare nella risoluzione? Perché veramente non so come fare
Grazie mille.

[pilloeffe]

Ciao keyz23,

Si tratta di integrali abbastanza standard, prova a dare un'occhiata qui e qui:

$ int_(-infty)^(infty)e^(-\alpha t^2+\beta t) dt =\sqrt(\pi/\alpha)e^(\beta^2/(4\alpha)) $

Nel tuo caso $\alpha = 4 $ e $\beta = - i \omega $.

[keyz23]

Buongiorno, sto sbattendo la testa su questa benedetta Trasformata di Fourier.. Ho davanti questo esercizio:
$ f(x)=e^(-4x^2) $
E devo calcolare la trasformata di Fourier.
Da quanto ho capito per calcolare la trasformata di Fourier posso fare:
$ F[f(t),omega ]= int_(-infty)^(infty) e^(-iomegat)f(t) dt = int_(-infty)^(infty) e^(-iomegat)e^(-4t^2 dt $
E quindi calcolare $ F[f(t),omega ]= int_(-infty)^(infty) e^(-t(iomega+4t))dt $

( Oppure poiché in questo caso la mia funzione è pari posso calcolarla come $ F[f(t),omega ]= 2 int_(0)^(infty) e^(-4t^2)cos(omegat)dt $ )

C'è qualcuno che mi può guidare nella risoluzione? Perché veramente non so come fare
Grazie mille.

Ciao keyz23,

Si tratta di integrali abbastanza standard, prova a dare un'occhiata qui e qui. Nel tuo caso $\beta = - i \omega $.

Ti ringrazio per la celere risposta! Ora do un'occhiata ai link che mi hai messo. Effettivamente l'esercizio che ho scelto non era adatto a ciò che chiedevo io ( essendo praticamente la trasformata della funzione di Gauss ) .
Parlando invece in generale la formula da utilizzare avendo una funzione $ f(t) $ è questa: $ F[f(t),omega ]= int_(-infty)^(infty) e^(-iomegat)f(t) dt $
Nel caso in cui in cui la funzione non risulti ne pari ne dispari? ( Perché in questo caso devo fare una distinzione )
Grazie ancora!!

[pilloeffe]

Prego!

Parlando invece in generale la formula da utilizzare avendo una funzione $f(t)$ è questa:...

Mah, la notazione che usi non mi entusiasma, personalmente preferisco

$\mathcal{F}[f(t)] := int_(-infty)^(infty) f(t) e^(-i\omega t) dt $

o al limite, se proprio ci tieni a far vedere che la trasformata è funzione di $\omega $:

$\mathcal{F}[f(t)](\omega) := int_(-infty)^(infty) f(t) e^(-i\omega t) dt $

Per quanto riguarda il discorso delle funzioni pari o dispari, basta che tieni presente che $e^(-i\omega t) = cos(\omega t) - i sin(\omega t) $ e, a seconda che la tua funzione sia pari o dispari...