Disuguaglianza ML

[feddy]

Ciao a tutti, in Analisi 3 abbiamo dimostrato la ML-inequality e subito dopo mi e' stato proposto il seguente esercizio, nel quale non sono certo della risoluzione.

Stimare l'integrale $ int_{Gamma} z^2 + bar(z)^4 +5 dz $, dove $Gamma$ e' il quarto di circonferenza di raggio unitario centrata nell'origine. (sugg. disuguaglianza triangolare)

Evidentemente, $|Gamma|=pi/2$ (alternativamente potevo calcolare ) $ int_{0}^{pi/2} |gamma'(t)|dt $ , dove $gamma$ e' la parametrizzazione standard in coordinate polari.

Il vero problema e' nel trovare il $s u p_{z in Gamma} {f(z)}$.

Visto il suggerimento, provo a utilizzare la disuguaglianza triangolare, sperando di averla usata correttamente: $|z^2 + bar(z)^4 +5| <= |z^2| + |bar(z)^4 +5| = 1 + |bar(z)^4 +5| <= 1+ |bar(z)^4| +5 = 7 $.

Percio' $|int_{Gamma} z^2 + bar(z)^4 +5 dz| <=7 pi/2 $.

Alternativamente, non avrei potuto considerare la funzione composta $f(gamma(t))$, dove $gamma$ e' la parametrizzazione dell'arco e $t in [0,pi/2]$ e trovare il massimo di questa funzione composta?

Che ne dite?

[Luca.Lussardi]

Il vero problema e' nel trovare il $s u p_{z in Gamma} {f(z)}$.

Occhio che e' $|f(z)|$, $f$ e' a valori complessi, dire chi e' il sup non ha senso.

Alternativamente, non avrei potuto considerare la funzione composta $f(gamma(t))$, dove $gamma$ e' la parametrizzazione dell'arco e $t in [0,pi/2]$ e trovare il massimo di questa funzione composta?

si, probabilmente otterresti una stima migliore, puoi provare.

[feddy]

Grazie Luca per la risposta !

Sinceramente anche a me non tornava, eppure sono sicuro di aver letto la parola sup alla lavagna !

Provo!

si, probabilmente otterresti una stima migliore, puoi provare.

Ho iniziato ponendo $z=z+iy$, ma non mi sembra la strada più semplice.
Allora ho pensato di scrivere la $f(z)$ come una $f(\rho, \theta)$, (ora $\rho=1$), con $\theta in [0,pi/2[$, ottenendo $f(\theta)=e^(2 i theta) + e^(-4i theta) +5 $.


$f(\theta)=cos(4 theta) + cos(2 theta) +5 + i(sen(2theta)) - sen(4theta))$. Ora per massimizzare questo, come dovrei fare? Massimizzo prima la parte reale e poi la parte immaginaria e prendo la somma?

[Luca.Lussardi]

Devi massimizzare $|f|$ non $f$.. hai copiato male oppure il prof si e' sbagliato... non ha senso massimizzare $f$ se $f$ e' a valori complessi.

[feddy]

Certo, capisco !

Ricapitolando, ho $|f(theta)|= |e^(2 i theta) + e^(-4i theta) +5| leq |e^(2 i theta)| + |e^(-4i theta) +5| \leq 7$... come prima. Dov'è che sbaglio? :/

[Luca.Lussardi]

Non sbagli, ma pensavo che la tua idea, per migliorare la stima, fosse di calcolare esattamente chi e' il sup di $|f|$ su quell'arco... qui hai usato invece ancora la stessa stima di fatto.

[feddy]

Ok.
Per calcolarmi il sup di $|f|$ nell'arco, considero la parametrizzazione $gamma:[0,pi/2] \rarr RR^2$, $t \mapsto (cos(t),sin(t))$.

$f(gamma(t))=cos^4 + cos^2 + sen^4 - sen^2 - 6 cos^2 sen^2 + 5 + i(2cos sen + 4 cos sen^3 - 4cos^3 sen)$ (tralascio l'argomento sennò ci metto una vita)

Ora però calcolarne il modulo è un macello... dove mi sto perdendo?

[dissonance]

Alternativamente, non avrei potuto considerare la funzione composta $f(gamma(t))$, dove $gamma$ e' la parametrizzazione dell'arco e $t in [0,pi/2]$ e trovare il massimo di questa funzione composta?

Si, ma troverai sempre \(7\), corrispondente a \(z=1\).

[feddy]

Ciao @dissonance,

mi pare quindi di capire che comunque $7 pi/2$ sia la migliore stima possibile, dal momento che altri modi non me ne vengono, corretto?

[dissonance]

Certo, perché \(7\) è proprio il massimo della funzione integranda sulla curva. Infatti il massimo è minore o uguale di \(7\) per la disuguaglianza triangolare che hai usato tu, ed è esattamente uguale a \(7\) perché è raggiunto per \(z=1\).

È una stima brutale ma è il meglio che puoi fare con la sola disuguaglianza triangolare.