Trasformata di fourier con funzioni a più variabili?

[MementoMori]

Salve, è possibile allargare il discorso delle trasformate di fourier a funzioni a più variabili e se si come? Grazie

[dissonance]

Certamente. Che stai studiando?

[MementoMori]

stavo risolvendo un esercizio in cui avevo la funzione (che descrive una particella nello spazio 3D)

$ \psi = N*e^(-a r) $ dove $ r = |\vec r | $

e una richiesta del esercizio mi obbliga a calcolare la trasformata di ciò

[killing_buddha]

Invece di avere
\[
\int_{x\in\mathbb R} f(x) e^{-2\pi i x\eta}dx
\] hai
\[
\int_{\underline x\in\mathbb R^n} f(\underline x) e^{-2\pi i \underline x\cdot\underline \eta}d\underline x
\] dove ora $\underline x,\underline \eta$ sono vettori di $\mathbb R^n$ di cui fai il prodotto scalare. Not a big deal.

[MementoMori]

Ok, ma non mi e' chiara la notazione.

Noi la trasformata l'abbiamo definita come:

$\phi(k) = 1/(2 \pi )^(1/2) \int _-oo^(+oo) f(x)*e^(-i k x) dx $

[killing_buddha]

Vabbè, la tua è un multiplo della mia, sostituisci la variabile

[MementoMori]

Ok ma nel secondo caso? Che cos'è $\eta$ ? Come risolveresti il mio esercizio?

[killing_buddha]

Devi fare l'integrale
\[
N \int_{x : \mathbb R^n} e^{-q(x,\xi)}dx
\] dove \(q(x,\xi)=a\|x\|+2\pi i \langle x,\xi\rangle\) è una forma quadratica in $x$, funzione anche della variabile $\xi$. Credo ci sia un modo generale di ricondurre gli integrali di $e^{-q(x)}$ a integrali gaussiani del tipo $e^{-x^2}$. Prova a cercare qualcosa di simile.

[Delirium]

Devi fare l'integrale
\[
N \int_{x : \mathbb R^n} e^{-q(x,\xi)}dx
\] dove \(q(x,\xi)=a\|x\|+2\pi i \langle x,\xi\rangle\) è una forma quadratica in $x$, funzione anche della variabile $\xi$. Credo ci sia un modo generale di ricondurre gli integrali di $e^{-q(x)}$ a integrali gaussiani del tipo $e^{-x^2}$. Prova a cercare qualcosa di simile.

Lo trovi da qualche parte in L. Hörmander - The Analysis of Linear Partial Differential Operators.