Trasformata di Fourier

[Allee]

Salve vi scrivo sperando possiate aiutarmi a risolvere il seguente esercizio:
L'esercizio richiede di calcolare la trasformata di Fourier della funzione
$ h(x)=xe^(-x^2/2) $
Dunque avevo pensato di applicare la proprietà della trasformata di Fourier per la quale
$ \mathcal(F) [x^hf(x)](omega)=i^hhat(f) ^((h))(omega ) $
Dove nel caso in esame risulta
$ \mathcal(F) [xf(x)](omega)=ihat(f)'(omega ) $ con $ f(x)=e^(-x^2/2) $
A questo punto ho difficoltà a calcolare
$ hat(f)'(omega)= int_(-oo)^(+oo) e^(-x^2/2-iomega x) dx $
E poi, risolto l'integrale, integrare $ hat(f)'(omega) $ per ottenere $ hat(f)(omega) $

È corretto questo modo di svolgere l'esercizio? Ho commesso qualche errore? Vi ringrazio anticipatamente per le eventuali risposte

[dissonance]

Va bene. La trasformata di Fourier di \(e^{-\frac{x^2}{2}}\) deve esserti nota dalla teoria, o altrimenti la puoi trovare su qualsiasi libro. Cerca "Fourier transform of the Gaussian".

[anonymous_0b37e9]

... integrare $hat(f)'(\omega)$ per ottenere $hat(f)(\omega)$ ...

Visto che:

$hat(f)(\omega)=\int_{-oo}^{+oo}e^(-x^2/2-i\omegax)dx=e^(-\omega^2/2)$

non devi integrare ma derivare.

[Allee]

Innanzitutto vi ringrazio infinitamente per le risposte.

Dunque in conclusione data $ h(x) =xe^(-x^2/2) $
per calcolarne la trasformata di Fourier applico la proprietà: $ \mathcal(F) [x^hf(x)](omega)=i^hhat(f) ^((h))(omega) $
Poiché $ \mathcal(F) [e^(-x^2/2)](omega)= e^(-omega^2/2) $ che derivando risulta essere $ hat(f) '(omega)=-omegae^(-omega^2/2) $
Posso concludere che $ hat(h) (omega)=-iomegae^(-omega^2/2) $

Spero di non aver commesso errori

[anonymous_0b37e9]

Puoi verificarne la correttezza calcolando la trasformata esplicitamente:

$hat(f)(\omega)=\int_{-oo}^{+oo}dxe^(-i\omegax)xe^(-x^2/2)=-\int_{-oo}^{+oo}dxe^(-i\omegax)de^(-x^2/2)=-i\omega\int_{-oo}^{+oo}dxe^(-i\omegax)e^(-x^2/2)=-i\omegae^(-\omega^2/2)$