Passaggio al limite e sommabilità di una serie

[Gustav Wittgenstein]

Ciao a tutti, approfitto ancora una volta della vostra generosità per questo esercizio:

Sia $f_n:RR^2rarrRR$ la successione di funzioni definita da $nsin^2(pisqrt(x^2+y^2))/(x^2+y^2)^(3/2)chi_(E_n)$ dove $E_n={(x,y)inRR^2: n<=sqrt(x^2+y^2)<=n+1}$

Mi si chiede se è valida la relazione $lim_n int_(RR^2) f_ndxdy=int_(RR^2) lim_n f_n dxdy$, e se la funzione $F(x,y)=sum^(+oo) f_n$ è sommabile su $RR^2$.

Allora, procedendo con il primo punto: mi sembra d'obbligo il passaggio alle coordinate polari, per cui l'integranda diventa $(nsin^2(pirho))/rho^3$, e le coppie $(rho,theta)$ devono soddisfare $thetain[0,2pi]$, $rhoin[n,n+1]$. Siccome non c'è dipendenza da $theta$, l'integrale dovrebbe diventare

$2pi int_a^(+oo) (nsin^2(pirho))/rho^2chi[n,n+1] drho$

Siccome gli estremi della funzione caratteristica tendono entrambi all'infinito, dovrei trovare solo una funzione dominante sommabile su $[a,+oo)$, $a>0$, giusto?

Il problema è che non riesco a togliere la dipendenza da $n$, anche usando $sin^2(pirho)<pi^2rho^2$ viene proprio $n$...

[Bremen000]

Per il teorema del valor medio integrale:

$\int_{n}^{n+1} \frac{n\sin^2(\pi \rho)}{\rho^2} d\rho = 1 \frac{n \sin^2(\pi a_n)}{\(a_n)^2}$

con $n<a_n<n+1$ ovvero $\frac{1}{n+1} < \frac{1}{a_n} < \frac{1}{n}$ dunque $\frac{n}{n+1} < \frac{n}{a_n} < \frac{n}{n}$ per ogni $n \in NN_0$.

Da cui ricaviamo che $\lim_{n \to \infty} a_n = + \infty \quad \wedge \quad \lim_{n \to \infty} \frac{n}{a_n} =1 $


Quindi $\lim_{n} \int_{RR^2} f_n dxdy = \lim_n 2\pi \int_{n}^{n+1} \frac{n\sin^2(\pi \rho)}{\rho^2} d\rho = \lim_{n} 2\pi\frac{n \sin^2(\pi a_n)}{\(a_n)^2} =0$.

E dunque l'uguaglianza è verificata.

[Gustav Wittgenstein]

Grazie mille per la risposta. Non avevo mai visto il teorema della media integrale applicato in questo modo.