Buongiorno a tutti.
Mi trovo a dover affrontare questo problema (PDE da risolvere con il metodo della separazione delle variabili).
${ ( (partial^2 u)/(partial t^2)-(partial^2 u)/(partial x^2) =0 ),( u(x,0)=x(pi^2-x^2 )),( (partialu)/(partial t)(x,0)=3cos(3/2 x) ),( u(-pi,t)=u(pi,t)=0 ):}$
Con $x \in (-pi,pi)$ e $t\ge0$.
Ho iniziato a cercare le soluzioni nella forma:
$U(x,t)=X(x)T(t)$
Ed imponendo le condizioni al contorno fornite ottengo:
$U(-pi,t)=X(-pi)T(t)=0$
$U(pi,t)=X(pi)T(t)=0$
Ovviamente, per evitare la soluzione banale ($T(t)=0$), applicando la legge di annullamento del prodotto ottengo:
$X(-pi)=X(pi)=0$
Ora che ho trovato le condizioni di compatibilità con i dati del probema procedo formalmente alla separazione delle variabili, imponendo:
$X^{''}/X=T^{''}/T=lambda$
Dunque, ricollegandoci al risultato precedente:
${ ( X''-lambda X=0 ),( X(-pi)=X(pi)=0 ):}$
Ora assumo che questa equazione differenziale ammetta soluzione, per $lambda=-alpha^{2}<0$ (con $lambda$ definito in questo modo per avere più ordine nei passaggi):
$X(x)=acos(alpha x)+bsin(alpha x)$ con $a$ e $b$ $\in \mathbb R$ costanti da determinare.
Qui arrivano i problemi.
Applico le condizioni iniziali:
$X(pi)=acos(alpha pi)+bsin(alpha pi)=0$
$X(-pi)=acos(-alpha pi)+bsin(-alpha pi)=0$
Ora, l'unica soluzione possibile è $a=b=0$ per soddisfare entrambe le uguaglianze. Quindi questo caso non mi fornisce informazioni utili.
Mi restano da valutare i casi:
$lambda=alpha^{2}>0$
$\lambda=alpha^{2}=0$
Dalla teoria ho imparato che il caso $lambda=alpha^{2}>0$ di norma non fornisce una soluzione al problema.
Mi resta quindi l'ultimo caso:
$X(pi)=a+bpi=0$
$X(-pi)=a-bpi=0$
Che mi fornisce sempre $a=b=0$.
Proseguendo, anche la parte temporale ipotizzo avrà un aspetto del tutto simile essendo anch'essa espressa tramite una equazione differenziale del secondo ordine.
A qaunto pare non riesco ad uscirne con queste condizioni al contorno. Cosa ne pensate? Sto sbagliando/dimenticando qualcosa nel mio modo di ragionare? Un grazie a tutti quelli che spenderanno qualche minuto del loro tempo per aiutarmi. .