Teorema:
Sia \( (\mathcal{H}, \langle \cdot, \cdot \rangle) \) uno spazio di Hilbert reale e sia \( V \subset \mathcal{H} \) chiuso e convesso. Allora \(V\) è sequenzialmente debolmente chiuso.
che si basa sul seguente
Lemma:
Sia \(\mathcal{H} \) uno spazio di Hilbert reale e sia \( V \subset \mathcal{H} \) chiuso e convesso. Sia \(x \in \mathcal{H} \), denoto con $P_Vx$ la proiezione ortogonale di $x$ su $V$. Allora, preso $v \in V$, si ha
\[ \left[\, v= P_Vx\,\right] \Leftrightarrow \left [\, \langle x-v, y-v\rangle \le 0 \quad \forall \, y \in V \,\right ] \]
Infatti,
dimostrazione (del Teorema)
Sia \( \{x_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset V : x_n \rightharpoonup x \); allora, per la continuità del prodotto scalare rispetto alla convergenza debole, si ha, per l'implicazione \(\Rightarrow\) del Lemma appena citato, che:
\[ \langle x-P_{V}x, x_n-P_{V}x\rangle \le 0 \quad \forall \, n \in \mathbb{N} \Rightarrow \langle x-P_{V}x, x-P_{V}x\rangle = \|x-P_{V}x \|^2 \le 0 \Rightarrow x=P_{V}x \Rightarrow x \in V \]
\( \square \)
Il mio dubbio è sulla dimostrazione del Lemma. L'intuizione geometrica è immediata ma volevo una dimostrazione "con tutti i crismi". Non avendone trovato una su internet e non ricordando quella che mi era stata proposta, ho provato a fare da me, ma mi sembra eccessivamente lunga. Ne esiste una versione più breve? In spoiler la mia:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
dimostrazione (del Lemma)
\( (\Rightarrow) \) :
Esista per assurdo \( y \in V\) tale che \( \langle x-P_{V}x, y-P_{V}x\rangle > 0\). Ovviamente \( P_Vx \ne y \).
1. Se \( \langle y-P_Vx, x-y \rangle >0 \):
\[ \|x-y \|^2 > \|x-P_Vx\|^2 = \|x-y\|^2 + \|y-P_Vx\|^2 +2\langle x-y, y-P_Vx \rangle > \|x-y\|^2 + \|y-P_Vx\|^2 \Rightarrow \|y-P_Vx\| <0 \]
che è assurdo.
2. Se \( \langle y-P_Vx, x-y \rangle \le 0 \):
Sia \( \alpha := \frac{ \langle x-P_{V}x, y-P_{V}x\rangle}{\|y-P_{V}x\|^2} \) e \( w:= P_Vx + \alpha(y-P_Vx) \).
Si ha che $0<\alpha<1$ infatti, \( \alpha >0 \) per ipotesi e si ha che:
\[ \alpha = \frac{ \langle x-P_{V}x, y-P_{V}x\rangle}{\|y-P_{V}x\|^2} = \frac{ \langle x-y,y-P_Vx \rangle + \langle y-P_Vx, y-P_Vx \rangle}{\|y-P_{V}x\|^2} < \frac{\|y-P_{V}x\|^2}{\|y-P_{V}x\|^2}= 1\]
Dunque \(w = \alpha y + (1-\alpha)P_Vx \) è una combinazione convessa di elementi di $V$ e come tale $w \in V$.
Si ha \( \langle x-w,w-P_Vx \rangle =0 \) infatti:
\[ \langle x-w,w-P_Vx \rangle = \langle x-w, \alpha(y-P_Vx) \rangle = \alpha \langle x-w, y-P_Vx \rangle = \alpha \langle x-P_Vx -\alpha(y-P_Vx), y-P_Vx \rangle = \alpha \{ \langle x-P_Vx, y-P_Vx \rangle -\alpha \|y-P_Vx\|^2 \} = \alpha \{ \langle x-P_Vx, y-P_Vx \rangle - \frac{ \langle x-P_{V}x, y-P_{V}x\rangle}{\|y-P_{V}x\|^2} \|y-P_Vx\|^2 \} =0\]
e dunque
\[ \|x-P_Vx\|^2 = \|x-w\|^2 + \|w-P_Vx\|^2 \Rightarrow \|x-P_Vx\| > \|w-P_Vx\| \]
che è assurdo.
\( (\Leftarrow) \) :
Sia $v \in V$ che soddisfa \( \langle x-v, y-v\rangle \le 0 \quad \forall \, y \in V \) , in particolare ciò vale per $y = P_Vx \in V$, cioè si ha
\[ \langle x-v, P_Vx-v\rangle \le 0 \]
e dunque
\[ \|x-v\|^2 \ge \|x-P_Vx \|^2 = \|x-v\|^2 + \|v-P_Vx\|^2 +2 \langle x-v , v-P_Vx \rangle \ge \|x-v\|^2 + \|v-P_Vx\|^2 \]
da cui \( v= P_Vx \).
$\square$
\( (\Rightarrow) \) :
Esista per assurdo \( y \in V\) tale che \( \langle x-P_{V}x, y-P_{V}x\rangle > 0\). Ovviamente \( P_Vx \ne y \).
1. Se \( \langle y-P_Vx, x-y \rangle >0 \):
\[ \|x-y \|^2 > \|x-P_Vx\|^2 = \|x-y\|^2 + \|y-P_Vx\|^2 +2\langle x-y, y-P_Vx \rangle > \|x-y\|^2 + \|y-P_Vx\|^2 \Rightarrow \|y-P_Vx\| <0 \]
che è assurdo.
2. Se \( \langle y-P_Vx, x-y \rangle \le 0 \):
Sia \( \alpha := \frac{ \langle x-P_{V}x, y-P_{V}x\rangle}{\|y-P_{V}x\|^2} \) e \( w:= P_Vx + \alpha(y-P_Vx) \).
Si ha che $0<\alpha<1$ infatti, \( \alpha >0 \) per ipotesi e si ha che:
\[ \alpha = \frac{ \langle x-P_{V}x, y-P_{V}x\rangle}{\|y-P_{V}x\|^2} = \frac{ \langle x-y,y-P_Vx \rangle + \langle y-P_Vx, y-P_Vx \rangle}{\|y-P_{V}x\|^2} < \frac{\|y-P_{V}x\|^2}{\|y-P_{V}x\|^2}= 1\]
Dunque \(w = \alpha y + (1-\alpha)P_Vx \) è una combinazione convessa di elementi di $V$ e come tale $w \in V$.
Si ha \( \langle x-w,w-P_Vx \rangle =0 \) infatti:
\[ \langle x-w,w-P_Vx \rangle = \langle x-w, \alpha(y-P_Vx) \rangle = \alpha \langle x-w, y-P_Vx \rangle = \alpha \langle x-P_Vx -\alpha(y-P_Vx), y-P_Vx \rangle = \alpha \{ \langle x-P_Vx, y-P_Vx \rangle -\alpha \|y-P_Vx\|^2 \} = \alpha \{ \langle x-P_Vx, y-P_Vx \rangle - \frac{ \langle x-P_{V}x, y-P_{V}x\rangle}{\|y-P_{V}x\|^2} \|y-P_Vx\|^2 \} =0\]
e dunque
\[ \|x-P_Vx\|^2 = \|x-w\|^2 + \|w-P_Vx\|^2 \Rightarrow \|x-P_Vx\| > \|w-P_Vx\| \]
che è assurdo.
\( (\Leftarrow) \) :
Sia $v \in V$ che soddisfa \( \langle x-v, y-v\rangle \le 0 \quad \forall \, y \in V \) , in particolare ciò vale per $y = P_Vx \in V$, cioè si ha
\[ \langle x-v, P_Vx-v\rangle \le 0 \]
e dunque
\[ \|x-v\|^2 \ge \|x-P_Vx \|^2 = \|x-v\|^2 + \|v-P_Vx\|^2 +2 \langle x-v , v-P_Vx \rangle \ge \|x-v\|^2 + \|v-P_Vx\|^2 \]
da cui \( v= P_Vx \).
$\square$