\[ e^x=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!} \]Ciao Yonko il tuo dubbio secondo me è perfettamente legittimo.
Per provare a risolverlo, devo discostarmi dal filo del tuo ragionamento.
Partiamo da un fatto: se una funzione è sviluppabile in serie di Laurent(o di Taylor) in $z_0$ allora il suo sviluppo è unico in $z_0$
Questo risultato ha un implicazione molto importante, e cioè che se tu trovi che una serie (centrata in $z_0$ della forma di Laurent) è uguale alla tua funzione, allora quello è l'unico sviluppo possibile in serie di Laurent di quella funzione in quel punto.
Bene se questo è chiaro, allora da qui il passo è breve, perché se io ho che $$f(z)=\sum_{-\infty}^{+\infty}c_n(z-z_0)^n$$ allora è la forma stessa della serie che mi dice in quale punto è centrata, questo a prescindere da come ci siamo arrivati(purché siano passaggi legittimi).
Veniamo ai tuoi esempi, partiamo dall'ultimo, per come hai terminato i conti tu non hai trovato lo sviluppo di $e^z$ in $z_0=3$ ma hai trovato lo sviluppo di $e^{x+3}$ in $x_0=0$ e questo te lo dice la forma stessa della serie, per trovare lo sviluppo in $z_0=3$ devi fare la sostituzione $x=z-3$ ottenendo così $$e^z=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{e^3}{n!}(z-3)^n$$ inoltre anche se può sembrare banale, tu non sei partito dal fatto che conoscevi lo sviluppo di $e^z$ in zero, ma conoscevi lo sviluppo di $e^x$ in zero, questa però è una sottigliezza che ci tenevo a farti notare perché può generare confusione.
Quindi il tuo ragionamento mettendo i puntini sulle i, sarebbe questo: se tu sai ad esempio lo sviluppo di $f(x)$ in $x_0$ allora per trovare lo sviluppo di $f(z)$ in $z_0$ devo fare la sostituzione $x-x_0=z-z_0$. E questo ragionamento scritto così è corretto, sicuramente per le serie di Taylor.
Per le serie di Laurent invece lo è parzialmente, questo perché in tali serie abbiamo anche dei termini frazionari, che non possono essere ricondotti ai termini polinomiali con la sostituzione precedente e viceversa. Però questo non è un problema perché non è la sostituzione che faccio che mi determina il centro della serie, ma la forma della serie stessa.
Quindi se tu hai che in $x_0=0$ $$e^x=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n!}$$ allora la sostituzione $x=\frac{1}{z}$ ti genera un uguaglianza $$e^{\frac{1}{z}}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!z^n}$$ e poiché questa uguaglianza è della forma della serie di Laurent centrata in $z_0=0$, allora per l'unicità dello sviluppo questo è PER FORZA la serie di Laurent di $e^{1/z}$ centrata in zero.
Quindi con le serie di Laurent hanno senso anche altre sostituzioni come ad esempio $x-x_0=\frac{1}{z-z_0}$, ora per quale ragione per il fatto che voglio fare una sostituzione $x=1/z$ questo dovrebbe significare che $1/z=0$ ? Perché il centro è in zero? ma ricorda che è $x_0=0$ non $x=0$ , questa sottigliezza è fondamentale.
Non penso di aver risolto i tuoi dubbi, però forse ti ho dato una mano se c'è qualcosa ancora che non ti torna, scrivi pure
"In matematica non si capiscono le cose. Semplicemente ci si abitua ad esse."
[John von Neumann]