Salve a tutti,
prima della domanda introduciamo una serie di concetti:
Sia $\mathcal{F}$ un'algebra di insiemi e sia $\mu_{0}$ una misura finita e $\sigma$- additiva.
Denotiamo con $\mathcal{F_\sigma}$ la famiglia di tutte le unioni numerabili di insiemi di $\mathcal{F}$ e con $\mathcal{F_\delta}$ la famiglia di tutte le intersezioni numerabili di insiemi di $\mathcal{F}$.
Estendiamo $\mu_{0}$ alle due famiglie $\mathcal{F\sigma}$ and $\mathcal{F}_{\delta}$ nel seguente modo:
Se$A\in\mathcal{F_{\sigma}}$
\begin{equation}
\mu_{1}(A)=\sup\{\mu_{0}(A'), A'\subset A,\; A'\in\mathcal{F}\}
\end{equation}
mentre $B\in\mathcal{F_\delta}$
\begin{equation}
\mu_{2}(B)=\inf\{\mu_{0}(B'), B'\supset B,\; B'\in\mathcal{F}\}.
\end{equation}
La domanda è la seguente: $\mu_1$ e $\mu_2$ sono anche finite?
Grazie