Integrale con i residui sul taglio di una multifunzione

[Pepermatt94]

Salve,
scrivo perchè ho un dubbio di analisi complessa che non riesco a risolvere:
avendo un integrale sul taglio di una multifunzione come
\[ \text{I} = \int_\text{-i}^\text{i} \frac{\sqrt{1+z^2}}{4+z^2}\ \text{d} z \]
la soluzione si trova ovviamente attraverso il metodo dei residui , chiudendo un cammino lungo il taglio, constatando che questo cammino varrebbe $\text{2I}$, quindi sommando tutti i residui fuori dal cammino scelto, anche quello all infinito, e dividendo quanto viene in questa somma per due.
Ora, nella soluzione , ed è qui il mio dubbio, si assegnano determinazioni diverse alla multifunzione $ \sqrt{1+z^2} $ per i diversi valori dei poli $\text{2i, -2i}$... o meglio si assegna come valore della funzione in questi due punti $\text{i}\sqrt{3}$ in $\text{2i}$ e il valore $\text{-i}\sqrt{3}$ nel punto $\text{-2i}$. In questo modo non si stanno scegliendo due determinazioni diverse ? Perchè si sceglie l 'immaginario positivo per uno e l immaginario negativo per l altro? Lo chiedo perche rispondere a questa domanda compromette la soluzione. Forse è una banalità.

[anonymous_0b37e9]

Poichè nella stragrande maggioranza degli esercizi i punti di diramazione giacciono sull'asse delle ascisse, può essere utile un cambiamento di variabile:

Rotazione di $\pi/2$ in senso orario

$[w=-iz] rarr [z=iw] ^^ [dz=i dw]$

Integrale

$I=\int_{-i}^{i}sqrt(1+z^2)/(4+z^2)dz=i\int_{-1}^{1}sqrt(1-w^2)/(4-w^2)dw$

A questo punto, se hai già svolto con successo un esercizio come questo:

$I=i\int_{-1}^{1}sqrt(1-w^2)/(4-w^2)dw$

non dovresti avere problemi. Viceversa, devo presumere che i tuoi dubbi siano di carattere generale. Ad ogni modo, se si procede come sopra:

$0 lt= \alpha lt 2\pi$

$w-1=|w-1|e^(i\alpha)$

$0 lt= \beta lt 2\pi$

$w+1=|w+1|e^(i\beta)$

Calcolo dei residui

$Res[sqrt(1-w^2)/(4-w^2),2]=$

$=lim_(w->2)-i(sqrt(w-1)sqrt(w+1))/(w+2)=lim_(w->2)-i(sqrt(|w-1|)e^(i\alpha/2)sqrt(|w+1|)e^(i\beta/2))/(w+2)=-isqrt3/4 ^^ \{(\alpha=0),(\beta=0):}$

$Res[sqrt(1-w^2)/(4-w^2),-2]=$

$=lim_(w->-2)-i(sqrt(w-1)sqrt(w+1))/(w-2)=lim_(w->-2)-i(sqrt(|w-1|)e^(i\alpha/2)sqrt(|w+1|)e^(i\beta/2))/(w-2)=-isqrt3/4 ^^ \{(\alpha=\pi),(\beta=\pi):}$

Per verificare che i valori di questi residui siano consistenti con la tua soluzione:

$lim_(w->2)sqrt(1-w^2)=lim_(w->2)isqrt3/4(w+2)=isqrt3$

$lim_(w->-2)sqrt(1-w^2)=lim_(w->-2)isqrt3/4(w-2)=-isqrt3$

e poichè $[z=iw]$:

$[z=2i] rarr [sqrt(1+z^2)=isqrt3]$

$[z=-2i] rarr [sqrt(1+z^2)=-isqrt3]$

[Pepermatt94]

Grazie mille. Il problema era che non riuscivo a visualizzare come si comporta la multifunzione nel piano. A quanto ho capito, quando c'è più di un punto diramazione bisogna fare attenzione per le soluzioni. Non capisco pero se questo voglia dire che siamo su più fogli di RIemann, o che siamo sullo stesso foglio, solo visto meglio. Per quanto riguarda la prassi, non riuscivo a visualizzare quello che avviene ! il disegno con la rotazione e gli angoli è stato molto chiarificante.

[anonymous_0b37e9]

... quando c'è più di un punto di diramazione bisogna fare attenzione per le soluzioni ...

Anche quando ne hai uno solo.

... siamo su più fogli di Riemann o sullo stesso foglio ...

Nel calcolo dei residui sei sullo stesso foglio. Solo quando imposti l'integrale lungo il taglio, essendo percorso due volte, sei su due fogli diversi.