Caratterizzazione delle singolarità secondo Laurent

[lukixx]

wow, bella dimostrazione anche. Questo discorso è applicabile anche alla semplice $ f $ (quella non prolungata per intenderci)? perchè la dimostrazione che mi hai proposto dimostra olomorfia nel cerchio grazie al teorema di morera e maggiorando il modulo dell'integrale sulla successione decrescente di circonferenze, limitatezza assicurata dal fatto che $ tildef $ sia continua anche nella singolarità eliminabile: dato che per definizione di singolarità eliminabile $ f $(non prolungata) tende ad un valore finito in $ z_0 $, allora anche in questo caso il modulo è limitato da un valore costante e quindi tendente a 0 con il raggio, qunndi vale l'hp di morera e quindi $ f $ olomorfa in tutto il cerchio compreso $ z_0 $

ti ringrazio tantissimo per la disponibilità, purtroppo ad ingegneria l'esame di metodi matematici non è spiegato con molto rigore e dettaglidi questo tipo o vengono considerate ovvietà o se ne evita la dimostrazione perchè "esula dei nostri scopi" -.-

[dissonance]

Si, ma in fondo \(f\) e \(\tilde f\) "sono la stessa cosa", la differenza è formale, nel senso che a rigore \(f(z_0)\) non significa niente. Invece \(\tilde f(z_0)\) è un ben preciso numero complesso. Chiaramente poi in pratica nessuno si mette a piazzare tilde, si continua a scrivere \(f\) anche per la funzione prolungata per continuità.

La cosa fondamentale è l'invarianza per omotopia degli integrali delle funzioni olomorfe. Se due curve chiuse \(\gamma\) e \(\gamma'\) sono contenute nel dominio \(A\) di una funzione olomorfa \(f\), e sono *omotope*, allora \(\int_\gamma f\, dz=\int_{\gamma'} f\,dz.\) (Ne abbiamo parlato, per esempio, qui: viewtopic.php?f=36&t=189151).

Due curve in \(A\) sono omotope se possono essere deformate l'una nell'altra con continuità SENZA uscire dal dominio \(A\). In pratica questo significa che nella regione racchiusa tra l'una e l'altra non ci deve essere nessuna singolarità di \(f\). Nel teorema di prima, l'unica singolarità di \(f\) è in \(z_0\), e tutte le circonferenze che abbiamo considerato racchiudono questa singolarità, quindi possono essere deformate l'una nell'altra con una traslazione e una omotopia, senza toccare \(z_0\).