Salve ragazzi ho un problema col dimostrare la seguente proposizione:
"se una funzione $ f $ è analitica in un disco forato di $ z_0 $, quindi ivi sviluppabile in serie di Laurent di corefficienti $ C_n $ , sono equivaletni le seguenti:
1) $ z_0 $ singolarità eliminabile $ hArr $ $ C_-n = 0 AA n>0 $ ;
2) $ z_0 $ polo di ordine N $ hArr $ $ C_-n = 0 AA n>N $ ;
3) $ z_0 $ singolarità essenziale $ hArr $ $ AAkinNEEn>k : C_-n != 0 $ ; "
La dimostrazione di questa proposizione non l'ho trovata sul testo di riferimento quale il M.Codegone - Metodi matematici per l'Ingegneria, quindi mi sono rifatto ad alcuni appunti e dispense, solo in un pdf ho trovato una dimostrazione che però afferma siano ovvi i punti 1) e 3) (che per me non lo sono), pertanto ne ho avanzata una io del 1) punto.
dim:
1) secondo pdf è ovvio. io ho dimsotrato in questo modo:
" $ rArr $ "
da def di singolarità eliminabile: $ lim _(z->z_0) f(z) = lambda in C , lambda < oo $ , quindi essendo f sviluppabile per laurent il limite è:
$ lim _(z->z_0)(sum_(n = 1\ldots+oo)C_-n/(z-z_0)^n + C_0 + sum_(n = 1\ldots+oo)C_n*(z-z_0)^n) = lambda $ :
da qui il la seconda sommatoria è infinitesima, $ C_0 $ è una costante finita, la prima sommatoria sono tutti termini il cui modulo è infinito quindi se per hp il limitè è finito tutti i coefficienti con indice negativo sono nulli.
" $ lArr $ "
banalmente se i coefficienti negativi sono nulli, applico il limite della def di singolarità eliminabile, esplicito la sommatoria e noto che l'unico termine non infinitesimo è $ C_0 $ il quale è finito quindi soddisfa la definizione di sing. elim.
il punto 2) è dimostrato chiaramente quindi non ho problemi al riguardo
il punto 3) non è dimostrato quindi vi chiedo di fornirmi di una dimostrazione o di una dispensa almeno
vi chiedo gentilmente di farmi notare se vi sono errori
sul web ho trovato questo " http://solitons.altervista.org/bruschi/ ... z%2016.pdf " che dimsostra 1) e 3) punto ma comunque ho qualche problema.
del punto 1) non capisco perchè, se $ z_0 $ è sing. elim. la funzione $ g(z):=f(z)*(z-z_0)^(n-1) , n>=1 $ sia analitica.
per quanto riguarda il 3) punto non l'ho capito nemmeno qui vi prego aiutatemi