Quiz con serie di Laurent

[lorenzo211]

Salve! Durante una simulazione d'esame mi è capitato il seguente quiz:

"Sia [geogebra]f(z) = 1/(3z) + g(z)[/geogebra]. g(z) ha un polo semplice in z=0. Allora certamente:"
a. f(z) ha un polo semplice in z=0
b. f(z) non ha un polo doppio in z=0
c. Res(0) = 3
d. f(z) non è derivabile in z=0

La risposta corretta è la b. Ma sinceramente non me lo spiego perchè se g(z) ha un polo semplice in z=0 e, data la risposa, non può avere sicuramente un polo doppio, allora vuol dire che g(z) può far "annullare" la parte principale di f(z) o può rendere z=0 una singolarità essenziale. Ma se è corretto, in che modo?

Inoltre f(z) può essere derivabile in z=0? Avevo capito che lo scopo delle serie di Laurent fosse quello di scrivere la funzione in serie di potenze (anche negative) nelle zone nella quale la funzione fosse olomorfa attorno ai punti di singolarità, non che rendesse definita la funzione in quel punto. A meno che non si riferisce al caso in cui g(z) = -1/(3z) e in quel caso f(z) = 0 costante. Se mi deste una mano sarebbe davvero molto gradito, grazie!

[anonymous_0b37e9]

La risposta b) è senz'altro vera. Infatti:

Ipotesi

1. $f(z)=1/(3z)+g(z)$

2. $g(z)$ ha un polo semplice in $[z=0]$

Tesi

$f(z)$ non ha un polo doppio in $[z=0]$

Dimostrazione

Per assurdo, se $f(z)$ avesse un polo doppio in $[z=0]$ allora:

$lim_(z->0)z^2f(z) ne 0 rarr$

$rarr lim_(z->0)z^2[1/(3z)+g(z)] ne 0 rarr$

$rarr lim_(z->0)1/3z+z^2g(z) ne 0 rarr$

$rarr lim_(z->0)z^2g(z) ne 0 rarr$

$rarr g(z)$ avrebbe un polo doppio in $[z=0]$ contraddicendo l'ipotesi.

Più in generale, per confutare le altre tre risposte:

$g(z)$ ha un polo semplice in $z=0 rarr$

$rarr g(z)=c_(-1)/z+c_0+c_1z+... rarr$

$rarr f(z)=1/(3z)+g(z)=(3c_(-1)+1)/(3z)+c_0+c_1z+... $

1. $[c_(-1)=-1/3] rarr [f(z)$ è derivabile in $z=0]$

2. $[c_(-1) ne -1/3] rarr [f(z)$ ha un polo semplice in $z=0$ di residuo $(3c_(-1)+1)/3]$