[Ex] Operatore in spazio di Banach

[Bremen000]

Questo è un esercizio molto standard che però, secondo me, tocca diversi aspetti della teoria. Non so quanti frequentatori del forum stiano preparando un esame di analisi reale / funzionale ma penso che possa essere utile. Insomma, non voletemene se non vi piace

Esercizio
Sia \( X = C([-1,1]) \) dotato della norma del massimo. Sia \( T: X \to X \) definito come

\[ Tu(t) = \int_{-1}^t \frac{2s}{1+s^2} u(s) ds \quad \quad u \in X \]

1. Dimostrare che $T$ è lineare e continuo. Calcolarne la norma.

2. $T$ è compatto?

3. $T$ ha autovalori? Se si, calcolarli.

4. $T$ è suriettivo?

[anonymous_0b37e9]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Per quanto riguarda la norma:

Parte 1

$||Tu(t)||=max|\int_{-1}^{t}(2s)/(1+s^2)u(s)ds| lt=$

$lt= max\int_{-1}^{t}|(2s)/(1+s^2)||u(s)|ds lt=$

$lt= max\int_{-1}^{t}|(2s)/(1+s^2)|ds lt=$

$lt= 2\int_{0}^{1}(2s)/(1+s^2)ds=2log2$

Parte 2

Funzione dispari

1. $[-1 lt= t lt= -1/n] rarr [u_n(t)=-1]$

2. $[-1/n lt t lt 1/n] rarr [u_n(t)=nt]$

3. $[1/n lt= t lt= 1] rarr [u_n(t)=1]$

Funzione pari non negativa

$[-1 lt= t lt= 1] rarr [f_n(t)=(2t)/(1+t^2)u_n(t)]$

Funzione non decrescente non negativa

$[-1 lt= t lt= 1] rarr [Tu_n(t)=\int_{-1}^{t}f_n(s)ds]$

Massimo

$[t=1] rarr$

$rarr [Max=2\int_{0}^{1}f_n(t)dt] rarr$

$rarr [Max=2\int_{0}^{1/n}(2nt^2)/(1+t^2)dt+2\int_{1/n}^{1}(2t)/(1+t^2)dt] rarr$

$rarr [Max=4n\int_{0}^{1/n}(1-1/(1+t^2))dt+4\int_{1/n}^{1}t/(1+t^2)dt] rarr$

$rarr [Max=4n[1/n-arctg(1/n)]+2log2-2log(1+1/n^2)] rarr$

$rarr [Max=4-4narctg(1/n)+2log2-2log(1+1/n^2)]$

Limite del massimo

$lim_(n->+oo)[4-4narctg(1/n)+2log2-2log(1+1/n^2)]=2log2$

[Bremen000]

[anonymous_0b37e9]

Meno male. Non essendo molto esperto, mi chiedevo se esistono procedimenti più immediati.

[Bremen000]

Non credere che io sia esperto! Il primo punto l’ho fatto esattamente come te e direi che è la prassi in questi casi!

[Delirium]

Meno male. Non essendo molto esperto, mi chiedevo se esistono procedimenti più immediati.

In realtà tutti quei calcoli probabilmente non ti servivano, bastava osservare che il \( \sup \) è raggiunto dalla funzione segno, che non è continua, ma che è arbitrariamente approssimabile con funzioni continue.

[Bremen000]

Come vedi c'è chi è esperto!

[otta96]

\( \sup \) è raggiunto dalla funzione segno, che non è continua, ma che è arbitrariamente approssimabile con funzioni continue.

Ma ne sei sicuro? Come faresti?

[Delirium]

\( \sup \) è raggiunto dalla funzione segno, che non è continua, ma che è arbitrariamente approssimabile con funzioni continue.

Ma ne sei sicuro? Come faresti?

Tangente iperbolica? Arcotangente? In senso distribuzionale. Ma in realtà non serve nemmeno specificare in quale senso (ovviamente non nella sup-norma, ma non l'ho mai detto), basta prendere una successione \( f_n \) che si comporti "quasi come il gradino", i.e. che valga \( 1 \) in \( [1/n, 1]\), \(-1 \) in \( [-1,-1/n] \) e qualcos'altro \(\in [-1,1] \) nel mezzo...

[otta96]

ovviamente non nella sup-norma

Ah ecco, era quella la cosa che non mi tornava, allora direi che va bene $f_n(x)=arctan(nx)$.
Però non è un problema il fatto che nell'esercizio ci si stesse riferendo alla norma del sup? Perché?