Operatori limitati.

[Lèo]

Ciao, come vanno questi esercizi?

\(\displaystyle \bullet \) Un operatore lineare $T$ è limitato se e solo se manda insiemi limitati in insiemi limitati.

La prima implicazione dovrebbe essere semplice: se \(\displaystyle x\in A \), $A$ limitato, allora \(\displaystyle \| x\|\le M_x \); usando l'ipotesi di limitatezza di $T$, considero \(\displaystyle y\in\mathcal{R}(A) \): si ha \(\displaystyle \|y\|=\|Tx\|\le cM_x \), ovvero \(\displaystyle \mathcal{R}(A) \) è limitato. Viceversa, limitandomi a considerare intorni dell'origine di raggio $r$, si ha che \(\displaystyle \Vert x\Vert\le r \) implica \(\displaystyle \Vert Tx\Vert\le K \). Concentrandomi sull'uguaglianza \(\displaystyle \Vert x\Vert=r \), ho che per ogni $yinX$ \(\displaystyle x=ry/\Vert y\Vert \); quindi usando l'omogeneità di $T$, \(\displaystyle \Vert Tx\Vert=\Vert T(ry/\Vert y\Vert)\Vert=(r/\Vert y\Vert) \Vert Ty\Vert\le K \), da cui \(\displaystyle \Vert Ty\Vert \le (K/r) \Vert y\Vert\) che dimostra la limitatezza di $T$.

\(\displaystyle \bullet \) Se \(\displaystyle T\ne 0 \) è limitato, allora per ogni \(\displaystyle x\in\mathcal{D}(T) \) tale che \(\displaystyle \Vert x\Vert\le 1 \) vale la disuguaglianza stretta \(\displaystyle \Vert Tx\Vert < \Vert T\Vert \).

Ho postato questo esercizio perché c'è certamente qualcosa che mi sfugge. \(\displaystyle \Vert Tx\Vert \le \Vert T\Vert \Vert x\Vert \) è sempre valida; essendo \(\displaystyle \Vert x\Vert<1 \) allora per forza di cose \(\displaystyle \Vert Tx\Vert < \Vert T\Vert \)...

\(\displaystyle \bullet \) Sia \(\displaystyle T:X\to Y \) normati un operatore limitato. Se esiste $b>0$ tale che \(\displaystyle \Vert Tx\Vert\ge b\Vert x\Vert \), allora \(\displaystyle T^{-1} \) esiste ed è limitato.

La disuguaglianza dell'ipotesi implica l'iniettività dell'operatore, poiché se \(\displaystyle x\ne 0, \Vert x\Vert\ne 0 \) e quindi \(\displaystyle \Vert Tx\Vert>0 \Rightarrow Tx\ne 0 \). Quindi sicuramente \(\displaystyle T^{-1} \) esiste ed è lineare. Il problema adesso sta nel dimostrare che è limitato: \(\displaystyle \Vert T^{-1}y\Vert=\Vert T^{-1}Tx\Vert=\Vert x\Vert\le \Vert Tx\Vert/b=(1/b)\Vert y\Vert \).

[Bremen000]

Ho letto solo il primo e non si capisce bene la notazione, almeno io non la capisco. $T$ va da dove a dove? Cosa è $M_x$? Cosa è \( \mathcal{R} \)? Cerca di formalizzare per bene il tutto!

[dissonance]

Pure il secondo punto è sicuramente sbagliato, probabilmente hai scritto male la traccia e dovevi richiedere \(\|x\|<1\).

[Lèo]

Chiedo scusa, sono stato frettoloso. Nel primo, \(\displaystyle T:X\to Y \) spazi normati come al solito; \(\displaystyle \mathcal{R}(A) \) è l'immagine di $A$, mentre $M_x$ è semplicemente la costante della definizione di limitatezza (l'ho presa dipendente da $x$, immagino si possa anche considerare il massimo $M$). Per il secondo hai ragione dissonance, l'ipotesi è \(\displaystyle \Vert x\Vert<1 \). Il dubbio comunque rimane!

[Bremen000]

Ciao, se l'operatore è $T$ per indicare l'immagine di $A \subset X$ si scrive $T(A)$. Il simbolo \( \mathcal{R} \) l'ho sempre visto usare per il range dell'operatore cioè \( \mathcal{R}(T) = T(X) \). Poi, se qualcuno sapesse diversamente, mi corregga!

Mi scrivi la tua definizione di operatore limitato? Se $M$ dipendesse da $x$ sarebbe una definizione inutile, prova a scriverla!

[Lèo]

$M_x$ è l'upper bound di \(\displaystyle \Vert x\Vert \) nell'insieme, $c$ la costante nella definizione di operatore limitato. In ogni caso sì, meglio lasciar stare e prendere \(\displaystyle M \) tale che \(\displaystyle \Vert x\Vert\le M, \forall x\in A \)...
Ripartiamo da capo:

Sia \(\displaystyle A\in X \) e \(\displaystyle M\ge 0 \) tale che \(\displaystyle \Vert x\Vert\in A\le M, \forall x\in A\). Sia \(\displaystyle y\in T(A) \): per l'ipotesi di limitatezza dell'operatore $T$, vale \[\displaystyle \Vert y\Vert=\Vert Tx\Vert \le c\Vert x\Vert\le cM, \] da cui segue la limitatezza di \(\displaystyle T(A) \).
Sia ora \(\displaystyle r\ge 0 \) il raggio di un intorno sferico $U$ di \(\displaystyle x=0 \)¹. Si supponga $U$ limitato: \(\displaystyle \Vert x\Vert\le r \) implica dunque \(\displaystyle \Vert Tx\Vert\le M\)². Si consideri $x$ tale che \(\displaystyle \Vert x\Vert=r \); per ogni \(\displaystyle y\in U \), si ha \(\displaystyle x=r(y/\Vert y\Vert) \)³. Usando l'omogeneità di $T$, \[ \displaystyle \Vert Tx\Vert=\left\Vert T\left(\frac{ry}{\Vert y\Vert}\right)\right\Vert=\frac{r}{\Vert y\Vert} \Vert Ty\Vert\le M, \] da cui segue \(\displaystyle \Vert Ty\Vert\le \frac{M}{r}\Vert y\Vert \), ovvero la limitatezza di $T$.

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Note

1. Dimostrato il fatto in questa situazione, ci si può ricondurre subito al caso generale con delle traslazioni. ↑
2. In questo caso $M$ dovrebbe dipendere dalla scelta di $r$. ↑
3. In pratica uso $y$ come versore direzionale, essendo l'intorno sferico funziona \(\displaystyle \forall y \). ↑

[Bremen000]

Eccomi, allora:
\( A \in X \) che vuol dire? Immagino tu voglia dire: " Sia $A \subset X$ un insieme limitato...".
\( \|x\| \in A \le M \) contiene almeno 2 errori. Penso tu intenda: "..per cui esiste \( M \ge 0 \) tale che se \( x \in A \) allora \( \|x \| \le M \).
Il resto della prima parte è perfetto.

La seconda parte, come al solito, racchiude l'idea esatta ma è sbagliato. Non puoi dire che se prendi \( x \in X \) t.c. \( \|x \| = r \) allora per ogni \(y \in U \) si ha ecc.... Ottieni solo l'uguaglianza delle norme. Il procedimento che devi fare è il contrario. Per semplicità prendiamo la palla unitaria chiusa centrata nell'origine \( B_1 \subset X \). Poiché \(B_1 \) è limitato e \( T \) mappa limitati in limitati, esiste un \( M \ge 0 \) tale che se \( y \in T(B_1) \) allora \( \|y \| \le M \). Sia ora \( x \in X \setminus \{ 0 \} \) qualsiasi. Chiaramente \( x / \| x\| \in B_1 \) ma allora

\[ \|Tx \| = \Biggl \| T \Biggl ( \frac{x \|x\|}{\|x\|} \Biggr ) \Biggr \| = \|x\| \Biggl \| T \Biggl ( \frac{x}{\|x\|} \Biggr ) \Biggr \| \le M \|x\|\]

che è quello che ti serve.

[Lèo]

Ciao, allora per la prima parte si tratta di refusi, mi è scappato un \(\displaystyle \in \) al posto di un \(\displaystyle \subset \) e ho messo un \(\displaystyle \in A \) di troppo. Per la seconda: mi è chiaro l'errore e la tua spiegazione, solo quando dici

Poiché $T$ è limitato

intendi \(\displaystyle T(B_1) \)?

[Bremen000]

Si correggo.