sommabilità di f in L^2(R)

da **lukixx** » 02/10/2018, 10:48

salve ragazzi, studiando la trasformata di fourier in $ L^2(mathbb(R)) $ in maniera propedeutica alla trasformata di Fourier per le distribuzioni temperate mi sono imbattuto in questa affermazione che ho sempre dato per scontato ma non riesco a capirne il motivo: "Sia $ f in L^2(mathbb(R)) $; poichè non è detto che $ f $ sia sommabile la definizione di trasformata di Fourier richiede una certa attenzione". La domanda è: perchè se $ f in L^2(mathbb(R)) $ non è necessariamente sommabile?

da **dissonance** » 02/10/2018, 10:56

Considera per esempio la funzione
\[
f(x)=\frac{1}{1+\lvert x\rvert}.\]

da **lukixx** » 02/10/2018, 11:23

innanzitutto grazie per la risposta, (volendo come esempio avrei potuto prendere $ 1/sqrt(1+x^2) $ di quadrato sommabile ma non sommabile), però la domanda era più teorica, cioè intuitivamente perchè non dovrebbe valere questa implicazione.
per quanto riguarda l'implicazione opposta $ f in L^1 (mathbb(R)) rArr f in L^2 (mathbb(R)) $ (ma in genera $L^p(mathbb(r))$) ce n'è una dimostrazione? o magari anche qui un spiegazione intuitiva

da **dissonance** » 02/10/2018, 11:45

Le spiegazioni intuitive te le devi costruire da solo, ragionando sugli esempi pratici. Quello che hai scritto è concettualmente "lo stesso" che il mio, ed è corretto.

Una cosa importante: pure l'esempio mio è "di quadrato sommabile ma non sommabile", è esattamente la stessa cosa che dire di una funzione che è in $L^2(\mathbb R)$ ma non in $L^1(\mathbb R)$.

Quanto alla funzione in $L^1(\mathbb R)$ ma non in $L^2(\mathbb R)$, pensa a
\[
f(x)=\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{\lvert x\rvert}}, & 0<|x|<1, \\ 0, & |x|\ge 1.\end{cases}\]

da **lukixx** » 02/10/2018, 14:00

ok quindi mi pare di capire che non c'è un'implicazione di appartenenza ad uno spazio

in merito alla funzione che proponi per l'esempio $ L^1(mathbb(R)) $ ma non $ L^2(mathbb(R)) $ se ne può fare l'integrale perchè la funzione è discontinua solo in $ {0, -1,+1} $ quindi un insieme di misura nulla, quindi la funzione è continua q.o. in $mathbb(R)$ e pertanto posso integrare (il risultato è 4 giusto?); invece il quadrato del modulo non è sommabile perchè è $ 1/|x| $ per il primo intervallo, che non è sommabile.

da **dissonance** » 02/10/2018, 14:11

lukixx ha scritto:ok quindi mi pare di capire che non c'è un'implicazione di appartenenza ad uno spazio

Detto meglio, gli spazi $L^p(\mathbb R)$ non sono in ordine, nel senso che $L^p(\mathbb R)\nsubseteq L^q(\mathbb R)$, a meno che $p=q$, naturalmente. Attenzione che, invece, $L^p([a, b])\subset L^q([a, b])$ se $p\ge q$!

Questa è una cosa sottile e bisogna studiare molti esempi per capirla a fondo.

in merito alla funzione che proponi per l'esempio $ L^1(mathbb(R)) $ ma non $ L^2(mathbb(R)) $ se ne può fare l'integrale perchè la funzione è discontinua solo in $ {0, -1,+1} $ quindi un insieme di misura nulla, quindi la funzione è continua q.o. in $mathbb(R)$ e pertanto posso integrare (il risultato è 4 giusto?);

Il risultato non è molto importante, comunque il discorso è giusto. In genere l'integrale si intende secondo Lebesgue, e non occorre fare quel discorso sulla continuità.

invece il quadrato del modulo non è sommabile perchè è $ 1/|x| $ per il primo intervallo, che non è sommabile.

eh si.

da **lukixx** » 02/10/2018, 14:57

dissonance ha scritto:Detto meglio, gli spazi $L^p(\mathbb R)$ non sono in ordine, nel senso che $L^p(\mathbb R)\nsubseteq L^q(\mathbb R)$, a meno che $p=q$, naturalmente. Attenzione che, invece, $L^p([a, b])\subset L^q([a, b])$ se $p\ge q$!

Questa è una cosa sottile e bisogna studiare molti esempi per capirla a fondo.

Anche se volessi non mi posso permettere di essere troppo pignolo perchè non ne ho il tempo, quindi prendo per vero senza dimostrazione la relazione tra i sottospazi sull'intervallo limitato, anche perchè credo che questa non sia strettamente utile ai fini della trasformata di Fourier in $L^2 mathbb(R) $ e per le distribuzioni tempreate in quanto la trasformata per definizione necessita della sommabilità in tutto R.
infine grazie mille!!

da **dissonance** » 02/10/2018, 15:01

Sono considerazioni giuste.

da **lukixx** » 02/10/2018, 16:46

dissonance ha scritto:Sono considerazioni giuste.

non mettevo in dubbio quanto hai affermato, solo che mi accontento del fatto che mel'abbia detto, come un assioma.

dissonance ha scritto:Detto meglio, gli spazi $L^p(\mathbb R)$ non sono in ordine, nel senso che $L^p(\mathbb R)\nsubseteq L^q(\mathbb R)$ .

alla luce di questo, e avendo dimostrato per conto mio che $ f in S(mathbb(R)) rArr f in L^1(mathbb(R)), f in L^2(mathbb(R)), f in L^(oo)(mathbb(R)), f in P_n $ con l'ultimo spazio di polinomi di grado n, posso dire che $ f $ sta nell'intersezione di questi spazi?

tra l'altro, perdona le troppe domande, ma leggo "$S(mathbb(R)) $ è denso in $L^2(mathbb(R))$: ogni funzione a quadrato sommabile è il limite di una successione di funzioni a decrescenza rapida" il che non mi è chiaro :/

da **dissonance** » 02/10/2018, 16:48

Si ma non c'entra niente l'inclusione, questo è un fatto di base di insiemi. Se $x$ appartiene agli insiemi $A$, $B$, $\text{Filippo}$ e $\text{Minguccio}$, allora
\[
x\in A\cap B\cap \text{Filippo}\cap \text{Minguccio}.\]

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