Esercizietto su $\sigma$-finitezza

[feddy]

Ciao a tutti,

in un rapido recap di T.d.M. ho trovato il seguente esercizio:

Show that a Lebesgue-measurable function $f:RR^n \rarr [0,+\infty]$ is $\sigma$-finite iff $m({x \in RR^n:f(x)=+\infty})=0$

Con $m$ intendo la misura di Lebesgue.

La definizione di funzione $\sigma$-finita è che $RR^n$ può essere decomposto in una unione numerabile di misurabili $A_i$ tale che in ognuno di questi $f$ è sommabile.

<=
Definisco $A_i= {x \in RR^n : i \leq f(x)<i+1}$. Sicuramente $A_i$ sono misurabili secondo Lebesegue. Ciascun $A_i= f^{-1}([i,i+1))$, e poiché $f$ è Lebesgue-misurabile, allora vale che la controimmagine di $[i,i+1)$ mediante $f$ è misurabile.

Evidentemente $\cup_{i =1}^{+\infty} A_i \cup {x:RR^n: f(x)=+\infty} = RR^n$. Se $m(A_i) < +\infty$, allora sicuramente

$\int_{A_i} |f(x)|dx \leq m(A_i) \text{sup}_{x \in A_i} f(x)< +\infty $

L'ultima disuguaglianza discende dall'ipotesi fatta sull'insieme dove $f$ assume valore ${+\infty}$
[Ho scritto assume valore, invece che diverge, poiché utilizzo la convenzione che $+\infty$ è un vero e proprio valore assunto dalla funzione. Da quanto capito anche nei corsi precedenti, questa è una convenzione fatta per dare un "senso" ad esempio al calcolo di $\int_{RR} 0 dx=0 \cdot +\infty =0$. Ma mi piacerebbe avere altri pareri sulla questione]

=>
Se $f$ è sigma finita, allora per ipotesi esistono $A_i$ misurabili, con $m(A_i) < +\infty$, tali che su ciascuno di questi $f$ è sommabile, cioè come prima

$\int_{A_i} |f(x)|dx <m(A_i) \cdot \text{sup}_{x \in A_i} f(x) < +\infty$

e questo accade per ogni $i =1,\ldots, N$. Quindi in particolare deve essere $\text{sup}_{x \in A_i} f(x) \ne +\infty$ per ogni $x \in A_i$ e per ogni $i=1,\ldots,N$. Da cui segue la tesi.

Mi pare di non aver commesso sbavature, in caso contrario sono felice di capire cosa sto sbagliando

[Bremen000]

Definisco $A_i= {x \in RR^n : i \leq f(x)<i+1}$.

\( i \in \mathbb{Z} \)?

Graficamente si vede subito che ciascun $ A_i= f^{-1}([i,i+1)) $, e poiché $ f $ è Lebesgue-misurabile, allora vale che la controimmagine di $ [i,i+1) $ mediante $ f $ è misurabile.

Non capisco il "graficamente". Tu hai già definito \(A_i = f^{-1}([i,i+1)) \) che è quindi misurabile pr definizione di funzione misurabile.

Forse non ho capito bene la definizione ma tu non sai (per come sono costruiti) che \( m(A_i) < \infty \) e quindi non puoi concludere che \( f \) sia sommabile sugli \( A_i\) in quel modo. Per dire, la funzione costante \( f(x) =1 \) è certamente misurabile ma \( A_1 = \mathbb{R}^n \).

Anche io in teoria della misura ho visto spesso usare \( f: X \to [0, + \infty] \), si intende proprio che \(f \) può assumere il valore \( +\infty \) che è un oggetto ben definito con certe proprietà (di cui tu ne hai citato una per esempio).

Se $ f $ è sigma finita, allora per ipotesi esistono $ A_i $ misurabili, con $ m(A_i) < +\infty $,

Anche qua, perché assumi \( m(A_i) < \infty \) ?

[feddy]

Ciao Bremen!

Non capisco il "graficamente".

Certo, si tratta di una frase che volevo scrivere e poi non ho rimosso Correggo.

Per quanto riguarda il resto: $m(A_i)$ l'ho assunta senza rendermene conto e in effetti non compare nella definizione di funzione sigma-finita, e quindi come dici giustamente tu, non posso usarla.

A questo punto però salta tutta la baracca.

Cos' dovrebbe funzionare: se non vale $m(A_i)<+\infty$, allora, grazie alla sigma-finitezza della misura di Lebesgue, posso decomporre ciascun $A_i$ in una sequenza di insiemi $A_{ij}$, $j \in N$ tali che $m(A_{ij})<+\infty$ per ogni $j \in NN$.

[Delirium]

Prova a considerare \( C_{i,k} := A_i \cap B_k (0) \) con \( (i,k) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \), essendo \( B_k (0) \) le palle di centro l'origine e raggio \( k \).

[feddy]

Ciao Delirium! In questo momento non ho tempo per pensarvi molto, ma secondo me l'ultima osservazione nel precedente post è legata alla tua. Se gli $A_i$ non hanno misura finita, allora li decompongo, grazie alla sigma-finitezza di $m$ in una sequenza numerabile di insiemi (misurabili) di misura finita: ho proprio idea che sia quello che hai scritto tu!

[Bremen000]

Cos' dovrebbe funzionare: se non vale $m(A_i)<+\infty$, allora, grazie alla sigma-finitezza della misura di Lebesgue, posso decomporre ciascun $A_i$ in una sequenza di insiemi $A_{ij}$, $j \in N$ tali che $m(A_{ij})<+\infty$ per ogni $j \in NN$.

Si, è l'idea del suggerimento di Delirium¹ anche se mi sa che se gli $A_i$ sono i tuoi, ci vuole $i \in \mathbb{Z}$.

Da qua come continui?

EDIT: vedo che ci troviamo tutti d'accordo sulla costruzione da usare

---

Note

1. A rigore tu non sai che tali $A_{ij} $ esistono perché sai che \( \mathbb{R}^n\) è $\sigma$-finito, non i suoi sottoinsiemi misurabili. Il che è ovvio, però non so quanto tu voglia essere puntiglioso. Il suggerimento di Delirium taglia la testa al toro perché fornisce una costruzione esplicita per gli $A_{ij}$ ↑

[feddy]

Scusate il ritardo nella risposta, cerco in poco tempo di sistemare il tutto: spero vada bene

Se $m(A_i)$ non ha misura finita, allora con la successione proposta da Delirium si ha $\cup_{i,k} C_{i,k} = RR^n$ e per costruzione $m(C_{i,k}) < \+infty$. Quello che deve succedere affinché $f$ sia sigma-finita è che $f$ sia sommabile su ciascun intervallo con cui ricopro $RR^n$:

$\int_{C_{i,k}} |f| dx \leq m(C_{i,k}) \cdot \text{sup}_{x \in C_{i,k}} |f(x)| \quad \forall (i,k) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$

Ma allora da qui segue che deve essere $m(x \in RR^n: f(x)=+\infty})=0$ poiché tutti i $C_{i,k}$ hanno misura finita e per ipotesi $f$ è sigma-finita.

L'implicazione opposta (<=) si prova come nel mio primo messaggio, avendo cura di considerare come ora il caso $m(A_i)=+\infty$ (e $i \in \mathbb{Z}$)

[Bremen000]

Mah, non mi torna tanto quello che dici per l'implicazione \( \Rightarrow \) : non è detto che il \( \sup_{C_{j,k}}|f| \ne + \infty \). Per esempio se

\[ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \quad x \mapsto \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{|x|}} \quad & \text{se } x \ne 0 \\ 0 \quad & \text{se } x =0 \end{cases}\]

Allora su \( C=[0,1] \) la funzione $f$ è sommabile ma \( \sup_{C} |f| = + \infty \).

Per l'implicazione \( \Leftarrow \) invece va bene con la modifica proposta.

Per la \( \Rightarrow \) io procederei per assurdo ma sono gusti...

[feddy]

Cazzo, hai ragione. Grazie

Quindi... suppongo che sia $m({x \in RR^n: f(x) = +\infty}) \ne 0$. Wlog posso assumere che questo accada anche in un solo insieme $A$, $0<m(A) <+\infty$, dove $A$ sarà sicuramente contenuto nell'unione numerabile $\cup_{i=1}^{+\infty}A_i$ .¹
Ma allora $int_{A} f dx = +\infty$, che è assurdo perché tale integrale deve essere finito se calcolato su uno degli $A_i$ o un sottoinsieme dell'unione degli $A_i$.

P.S.:Credi non ci sia un modo per provare $\Rightarrow$ senza procedere per assurdo?

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Note

1. Eventualmente può anche essere $m(A),m(A_i) = +\infty$, basta utilizzare la sigma finitezza della misura di Lebesgue usando la famiglia delle palle centrate $B_{k}(0)$ ↑

[Bremen000]

Ok ora mi sembra che la dimostrazione di \( \Rightarrow \) funzioni più o meno. Non mi è chiarissimo quando tiri in ballo \( A \) e non vorrei che tu stessi considerando gli \(A_i \) di prima (cosa che sarebbe sbagliata); a scanso di equivoci:

Sia \( f : \mathbb{R}^n \to [0, +\infty] \) misurabile e sia \(B =\{ x \in \mathbb{R}^n : f(x)=+\infty \} \). Supponiamo sia \( m(B) >0 \) e sia \( \{A_i \}_{i \in \mathbb{N}} \) una qualsiasi successione di insiemi misurabili la cui unione è \( \mathbb{R}^n \). Necessariamente esiste \( i_0 \in \mathbb{N} \) t.c. \( m(B \cap A_{i_0} ) > 0 \) (perché?).

Ma allora

\[ \int_{A_{i_0}} f dm \ge \int_{A_{i_0} \cap B} dm = + \infty \]

cioè \( f \) non è sommabile su tutti gli \(A_i \). Fine.

Forse si può fare anche in modo diretto ma questa mi sembra la via più agevole! Credo che questo risultato si generalizzi senza sforzo sostituendo a \( \mathbb{R}^n \) un qualsiasi spazio di misura sigma finito (almeno, la dimostrazione che ho messo va bene pari pari).

P.S: : hai abbandonato la numerica per darti alla TdM? A parte gli scherzi, ho visto che te ne intendi parecchio di numerica e penso tu faccia matematica! E' un fenomeno singolare, o è solo una mia impressione?