Ciao, potete buttare un occhio a questi esercizi?
i) Siano \(\displaystyle a_1,...,a_n \) punti sulla circonferenza unitaria \(\displaystyle \mathcal{C} \). Mostrare che esiste un punto \(\displaystyle z\in\mathcal{C} \) tale che il prodotto delle distanze tra \(\displaystyle z \) e \(\displaystyle a_j \) è almeno \(\displaystyle 1 \).
Sia \(f(z)=\prod_{j=1}^n(z-a_j) \) definita sull'insieme aperto \(\displaystyle \Omega=\{z\in\mathbb{C} : |z|<1\} \). Tale funzione è polinomiale e quindi sicuramente analitica su $Omega$, ed è tale che \(\displaystyle |f(z)| \) rappresenta il prodotto delle distanze tra $z$ e ogni \(\displaystyle a_j \). Inoltre, si ha \(|f(0)|=|\prod_j (-a_j)|=1 \) dato che \(\displaystyle a_j\in\mathcal{C} \). Il principio del massimo modulo implica quindi che esiste \(\displaystyle z_0\in\partial\Omega=\mathcal{C} \) tale che \(\displaystyle |f(z_0)|>|f(z)| \) per ogni \(\displaystyle z\in\Omega \), e quindi in particolare \(\displaystyle |f(z_0)|\ge |f(0)= 1 \).
Qui ho usato una versione del principio trovata su Wikipedia, spero sia corretta; il Lang ne riporta un enunicato un po' diverso, che tira in ballo il concetto di funzione localmente costante e che ho trovato più di aiuto nel secondo punto...
ii) Sia \(\displaystyle f \) una funzione intera a valori reali su \(\displaystyle \mathcal{C} \). Allora \(\displaystyle f \) è costante.
Il fatto che \(\displaystyle f \) sia reale sulla circonferenza unitaria implica che per ogni \(\displaystyle z \) tale che \(\displaystyle |z|=1 \) si abbia \(\displaystyle \Im f(z)=v=0 \) identicamente. Per il principio del massimo modulo inoltre, il massimo di \(\displaystyle |f| \) deve essere raggiunto su \(\displaystyle \mathcal{C} \), e poiché \(\displaystyle |f| \) dipende monotonamente da $v^2$, necessariamente \(\displaystyle v=0 \) quando \(\displaystyle |z|<1 \). Sfruttando le equazioni di Cauchy-Riemann, per ogni \(\displaystyle z\in\mathcal{C} \) posso scrivere \(\displaystyle f'(z)=\partial_y v+i\partial_x v=0 \), il che implica che \(\displaystyle f \) sia costante sul disco unitario. Adesso ho un problema: come dimostro che la funzione è costante anche all'infuori?
iii) Una funzione olomorfa non può avere modulo costante senza essere riconducibile a una costante.
Supponiamo di avere \(\displaystyle f \) olomorfa su \(\displaystyle \Omega \) tale che \(\displaystyle |f(z)|=c \) per ogni \(\displaystyle z\in\Omega \). Si ha \(\displaystyle |f|=u^2+v^2 \), quindi se \(\displaystyle u^2+v^2=0 \), la funzione è identicamente nulla e quindi costante. Altrimenti, differenziando (ignoro il fattore $2$) e usando Cauchy-Riemann ottengo \(\displaystyle 0=u\partial_x u+v\partial_x v=u\partial_y u+v\partial_y v=-u\partial_x v+v\partial_x u \). Riorganizzando in una sola equazione ottengo \(\displaystyle u\partial_y u+v\partial_y v+u\partial_x v-v\partial_x u=0 \) che deve valere per ogni scelta di $u$ e $v$ non entrambi nulli. Adesso però ho un dubbio su come mostrare che questa condizione basta a risolvere il problema...