Misura esterna di Lebesgue

[anto_zoolander]

Ciao!

Sto studiando la misura di Lebesgue su $RR$ e mi sono imbattuto nella dimostrazione riguardante la sub-additività: pagina 32-33(teorema3) del De Barra.

In particolare è sottintesa la seguente cosa:
Se per ogni $i in NN$ si ha ${I_(i,j)}_(j inNN)$ successione di intervalli del tipo $I=[a,b)$ e $l(I)=b-a$ la sua lunghezza

$m(bigcup_(i=1)^(infty)bigcup_(j=1)^(infty)I_(i,j))leqsum_(i=1)^(infty)sum_(j=1)^(infty)l(I_(i,j))$

Però non mi pare così intuitiva come cosa

Sicuramente è vero che $forall i inNN, m(bigcup_(j=1)^(infty)I_(i,j))leqsum_(j=1)^(infty)l(I_(i,j))$
Poiché per ogni $i in NN$ la successione ${I_(i,j)}$ è un ricoprimento di $bigcup_(j=1)^(n)I_(i,j)$

Quindi $sum_(i=1)^(infty)m(bigcup_(j=1)^(infty)I_(i,j))leqsum_(i=1)^(infty)sum_(j=1)^(infty)l(I_(i,j))$

Ma da qui non mi viene nulla

[anto_zoolander]

Ho risolto:

Basta considerare che posso prendere una numerazione ${J_k}={I_(i,j)}$ quindi si ha

$bigcup_(k=1)^(infty)J_k=bigcup_(i,j=1)^(infty)I_(i,j)$ e le somme delle lunghezze sugli indici coincidono.
Essendo ${J_k}$ una famiglia numerabile di intervalli che copre $bigcup_(i,j=1)^(infty)I_(i,j)$(visto che coincidono la copertura è ovvia) si ha

$m(bigcup_(i,j=1)^(infty)I_(i,j))=m(bigcup_(k=1)^(infty)J_k)leqsum_(k=1)^(infty)l(J_k)=sum_(i,j=1)^(infty)l(I_(j,k))$

[Mathita]

Domanda: non potevi utilizzare la $\sigma-$subaddittività della misura esterna di Lebesgue? Dopotutto, se la memoria non mi tradisce potrei scrivere:

$m\left(\bigcup_{i=1}^{+\infty}\bigcup_{j=1}^{+\infty} I_{i,j}\right)\le\sum_{i=1}^{+\infty}m\left(\bigcup_{j=1}^{+\infty}I_{i,j}\right)\le\sum_{i=1}^{+\infty}\sum_{j=1}^{+\infty}m(I_{i,j})=\sum_{i=1}^{+\infty}\sum_{j=1}^{+\infty}l(I_{i,j})$

Nota che non tocco teoria della misura da più di 13 anni, la mia è davvero una domanda e non un modo per correggere la tua dimostrazione.

[anto_zoolander]

Ciao mathita
figurati ogni intervento costruttivo è il benvenuto.
Il problema è che questa cosa la dovevo proprio utilizzare per dimostrare la $sigma-$subadditività della misura esterna di Lebesgue

L'ho scritto nelle righe 2,3 del primo post

[Mathita]

Ah, chiaro. Perfetto, sto diventando un analfabeta funzionale.