Calcolo integrale funzione analitica

[AndreaTorre]

Salve a tutti,
ho il seguente esercizio sul quale vorrei chiarire alcuni dubbi:

(l'integrale è da considerare circolare) $int_Gamma(e^(1/z+1/z^2)/z)dz$ (#), $Gamma={zinCC$ tale che $|z|=1}$
Ora io so che se la funzione è analitica, essendo $z_0$ una singolarità finita, allora :
(#)$=2piiRes(f(z), z_0)=-2pii Res(f(z),infty)=-2piiRes(-1/z^2*f(1/z), z_0)$
La mia domanda è: come si stabilisce a livello pratico se una funzione è analitica?
Grazie in anticipo.

[gugo82]

Cos’è $z_0$?

[AndreaTorre]

...essendo $z_0$ una singolarità finita, allora...

Una singolarità finita per f

[gugo82]

Ok, ma nel tuo caso che cos'è $z_0$?
Quale numero complesso è?

Detto altrimenti, chi sono le singolarità del tuo integrando?
Sono singolarità isolate?
Di che tipo?
Ed in $oo$ che succede?

Poi, quali singolarità cadono internamente al cammino di integrazione?
Quali fuori?
Come si scrivono i teoremi dei residui?

[AndreaTorre]

Perdonami se rispondo in ritardo..
Comunque considerando che sono abbastanza confuso sull'argomento potrei dire alcune fesserie.
Ho trovato come singolarità finita il punto $z_0=0$.
Procedendo con lo sviluppo in serie della funzione $f(z)=1/z*sum_(n=0)^(+infty)[((z+1)/z^2)^n*1/(n!)]=1/z+(z+1)/z^3+(z+1)^2/(2z^5)+...+((z+1)/z^2)^n*1/(n!z)+...$ noto che la parte principale è composta da infiniti termini non nulli quindi presumo che $z_0=0$ sia una singolarità essenziale e poiché il coefficiente del termine $1/z$ è 1, si ha che $Res(f(z),0)=1$ e quindi (#)$=2pii*1=2pii$.
Se ciò che ho fatto è corretto, come mai c'è bisogno di studiare cosa accade in $infty$?

P.S. Ho omesso di dire che lo svolgimento con cui ho iniziato il topic non è farina del mio sacco ma del Prof. e quindi vorrei anche capire se conviene il mio ragionamento (sempre se sia giusto) o il suo.