soluzioni equazione del calore con metodo di fourier

[jimorrison1981]

sto studiando per esame di analisi superiore la risoluzione dell'equazione del calore con il metodo di fourier
sono arrivato alla determinazione degli autovalori, nei tre casi
lambda=0
lambda>0
lambda<0

con le diverse soluzioni.
poi si passa alla forma trigonometrica tramite i coefficienti della serie di fourier, poichè l'equazione differenziabile è lineare vado a risolverla con la serie.
non mi è chiaro questo passaggio dagli autovalori alla serie, magari qualcuno di voi ha già studiato questa equazione.
per cui possiamo approssivamare le funzioni a delle serie...che convergono a 0 se lim k tende a +inf.
phi(x)= sommatoria da k=1 a n di ck sin(kx)
u(x,t)= sommatoria da k=1 a n ck sin(kx)e^(-k^2 t)...

grazie

[Raptorista]

Ciao, sarebbe meglio se riscrivessi le formule con i compilatori messi a disposizione dal forum, e se mettessi qualche conto in più giusto per chiarire cosa stai facendo.

Ad istinto direi che c'è qualche fattorizzazione spettrale dietro quel passaggio, ma sto tirando a indovinare.

[jimorrison1981]

è semplicente lo sviluppo del terzo caso, autovalori negativi.
grazie comunque
per la prossima volta provvederò a utilizzare il tutorial per le formule

[pilloeffe]

Ciao jimorrison1981,

Mi associo alla ragionevole richiesta di Raptorista in merito al chiarire cosa stai facendo scrivendo le equazioni fra i simboli di dollaro, in modo che sia più chiaro per chi legge.

non mi è chiaro questo passaggio dagli autovalori alla serie

Credo tu ti stia riferendo al principio di sovrapposizione degli effetti, per il quale, data l'equazione

$(delu)/(delt) = c (del^2 u)/(delx^2) $

ove $u(x, 0) = \varphi(x) $, $u(0, t) = 0 $ e $|u(x, t)| < M $

la soluzione si può scrivere nella forma seguente:

$u(x,t) = \sum_{k = 1}^{+\infty} c_k e^{- c \lambda_k^2 t} sin(\lamda_k x)$

Quest'ultima, ricordando che $\varphi(x) = u(x, 0) $, conduce a

$\varphi(x) = \sum_{k = 1}^{+\infty} c_k sin(\lamda_k x) $

per cui possiamo approssivamare le funzioni a delle serie...che convergono a 0 se lim k tende a +inf.
phi(x)= sommatoria da k=1 a n di ck sin(kx)
u(x,t)= sommatoria da k=1 a n ck sin(kx)e^(-k^2 t)...

Qui è proprio necessario un chiarimento, perché parli di serie, poi esprimi $\varphi(x)$ e $u(x,t)$ come somme: o forse intendevi dire che $n \to +\infty $ ?