[EX] Ogni spazio di Banach è isometrico ad un sottospazio chiuso di \(C(S)\)

[Delirium]

Un classico:

Mostrare che per ogni spazio di Banach \( X \) esistono uno spazio topologico compatto \( S \) ed un'isometria \( J : X \to C(S) \) con \( J(X) \) sottospazio chiuso di \( C(S) \). Mostrare che se \(X\) è separabile allora \(S\) può essere scelto metrico.

[Bremen000]

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Non so se va bene, ma mi ci ha fatto pensare il fatto che tu abbia detto che se $X$ è separabile allora si può prendere $S$ metrico. Potrebbe essere corretta l'idea di prendere $S$ come la palla unitaria chiusa nel duale topologico di $X$ e come $J$ l'isomorfismo canonico da $X$ al suo biduale?

[Delirium]

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Non so se va bene, ma mi ci ha fatto pensare il fatto che tu abbia detto che se $X$ è separabile allora si può prendere $S$ metrico. Potrebbe essere corretta l'idea di prendere $S$ come la palla unitaria chiusa nel duale topologico di $X$ e come $J$ l'isomorfismo canonico da $X$ al suo biduale?

Quella è l'idea, ma devi specificare la topologia (immagino tu lo sapessi, visto che il campanello è suonato quando hai letto "metrico").

[otta96]

Ci voglio provare anche io.

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Il modo più naturale di associare uno spazio topologico compatto ad uno spazio di Banach che mi è venuto in mente è quello di considerare la palla unitaria nel duale topologico $B$ dotata di topologia debole $*$, che è compatta per Banach-Alaoglu-Bourbaki.
Un problema maggiore per me è stato capire come dovesse essere fatta l'isometria, però penso che così possa funzionare: posto $S=B$, definisco $J(x)$ come quella funzione che a $x^*\inS$ associa $x^*(x)$. Si ha che $J(x)\inC(S)$ perché $\norm{J(x)}=\text{sup}_{x^*\inS}\abs(x^*(x))$, che per teoremi noti di analisi funzionale (corollari di Hahn-Banach), si ha $\norm{J(x)}=\norm{x}$. Incidentalmente ho dimostrato anche che è un'isometria, quindi dovrei aver concluso (l'immagine è chiusa perché è completa, essendo l'immagine di uno spazio completo tramite un'isometria).
Per finire, se $X$ è separabile e riflessivo allora anche $X^*$ lo è e per il teorema di Kakutani $S$ è metrizzabile.
Lo so, ho aggiunto l'ipotesi che $X$ fosse pure riflessivo, ma senza non sapevo come fare.

[Delirium]

@otta: non cosa sia la topologia debole \(\cdot\), immagino tu intenda topologia debole-\(^*\). Poi non ti serve la riflessività, vedi per esempio teoremi 3.29-3.30 sul Brezis (la metrica è costruita esplicitamente). Il resto va bene.

[otta96]

@otta: non cosa sia la topologia debole \(\cdot\), immagino tu intenda topologia debole-\(^*\).

Si intendo quella, solo che io avevo messo *, ma lo fa piccolissimo, sembra un punto, non so perché.

Poi non ti serve la riflessività, vedi per esempio teoremi 3.29-3.30 sul Brezis (la metrica è costruita esplicitamente). Il resto va bene.

Dopo ci guarderò.

[otta96]

Ok, ho ridato un'occhiata ai teoremi che dicevi tu ed in effetti me li ricordavo decisamente male, sono già nella forma che serve a me per concludere (e Kakutani non c'entra nulla).
Stavo pensando, sarà vero che si riesce a prendere il compatto anche separabile se e solo se $X$ è separabile? Che ne pensi?
Naturalmente se $X$ è separabile per quanto visto il compatto si può prendere metrizzabile, quindi separabile, ma il viceversa?
Volendo ci si potrebbe porre anche la stessa domanda invece che con separabile proprio metrizzabile.

[Delirium]

Ok, ho ridato un'occhiata ai teoremi che dicevi tu ed in effetti me li ricordavo decisamente male, sono già nella forma che serve a me per concludere (e Kakutani non c'entra nulla).
Stavo pensando, sarà vero che si riesce a prendere il compatto anche separabile se e solo se $X$ è separabile? Che ne pensi?
Naturalmente se $X$ è separabile per quanto visto il compatto si può prendere metrizzabile, quindi separabile, ma il viceversa?
Volendo ci si potrebbe porre anche la stessa domanda invece che con separabile proprio metrizzabile.

Sembrerebbe di si' (anch'io avevo pensato a Stone-Weierstrass, ma non conoscevo questo risultato, peraltro molto interessante).

[Bremen000]

@ Delirium, si si intendevo con la topologia debole\(^*\). Che poi è quello che ha fatto otta!

[otta96]

Sembrerebbe di si' (anch'io avevo pensato a Stone-Weierstrass, ma non conoscevo questo risultato, peraltro molto interessante).

Ganzo!