Teorema
Sia $(X,d)$ uno spazio metrico separabile e completo. Sia \( f \in C_b(X) \), allora esistono due successioni \( \{ g_n \}_{n \ge 1} , \{ h_n \}_{n \ge 1} \subset \text{Lip}_b(X) \) tali che
\[ g_n(x) \uparrow f(x) \quad \quad \wedge \quad \quad h_n(x) \downarrow f(x) \quad \quad \forall \, x \in X \]
quando \( n \to + \infty \).
Dove con \( C_b(X) \) intendo l'insieme delle funzioni da $X$ in $\mathbb{R}$ continue e limitate mentre con \( \text{Lip}_b(X) \) intendo l'insieme delle funzioni da $X$ in $\mathbb{R}$ lipschitziane e limitate.
Non ho pensato granché a come si può dimostrare quindi, se fosse una cosa fattibile senza grandi idee, mi va bene anche un'indicazione su come procedere!
