[Risolto] Verifica proprietà sistemi teoria dei segnali

Messaggioda Ulisse802.11 » 09/01/2019, 17:07

Ho questo esercizio che riporto qui di seguito.
Studiare le proprietà di linearità, stazionarietà, stabilità, causalità e memoria con riferimento ai seguenti sistemi:
1) $ y(t) = sin(x(t +5)) $
2) $ y(n) = x (n+3)x(n-2) $
Dove y è il segnale di uscita ed x quello di ingresso.
Ora mi rendo conto che chiamarlo esercizio è un parolone, però nonostante abbia letto e riletto più volte quelle proprietà, non riesco a svolgerlo. Qualcuno sarebbe così gentile da aiutarmi?
Ultima modifica di Ulisse802.11 il 12/01/2019, 11:05, modificato 1 volta in totale.
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Re: Verifica proprietà sistemi teoria dei segnali

Messaggioda gugo82 » 09/01/2019, 17:32

Visto che siamo in una stanza di Analisi e non di Ingegneria, dovresti assumere che chi frequenta questi lidi non abbia la tua stessa familiarità con i concetti di “linearità”, “stabilità”, “stazionarità”, “causalità”, “memoria”, etc...
Quindi, come minimo, ti conviene dare le definizioni di questi concetti.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Verifica proprietà sistemi teoria dei segnali

Messaggioda Ulisse802.11 » 09/01/2019, 18:20

Dici il vero, Gugo82, ho dimenticato la cosa fondamentale: le definizioni.
1) Stazionarietà: se le caratteristiche del sistema non variano nel tempo, il sistema è stazionario.
Formalmente, $ y(t)=T[x(t)] $ e allora $ T[x(t-t_0)]=y(t-t_0)$.

2) Causalità: un sistema è causale quando in valore dell'uscita all'istante $ t $ dipende solo dai valori assunti dall'ingresso negli istanti precedenti (o al limite coincidenti con) $ t $ stesso.
$ y(t)=T[x(alpha ),alpha <= t;t] $

3) Memoria: in un sistema con memoria, il calcolo del valore di uscita all'istante $ t $ presuppone la conoscenza dell'andamento del segnale di ingresso in tutto l'intervallo.

4) Stabilità: diciamo che un sistema è stabile se, sollecitato da un segnale con andamento arbitrario ma di ampiezza limitata, esso produce a sua volta un segnale di ampiezza limitata.

5) Linearità: un sistema è lineare se ad esso si applica il principio di sovrapposizione degli effetti. Ciò vuol dire che se il segnale di ingresso $ x(t) = alpha x_1(t)+beta x_2(t) $ è costituito da una combinazione lineare di coefficienti costanti alfa e beta delle due eccitazioni, il sistema risponde con $ y(t) = alpha y_1(t)+beta y_2(t) $ , dove $ y_1(t) = T[x_1(t)] $ e $ y_2(t) = T[x_2(t)] $ .

Queste sono le definizioni necessarie per l'esercizio.
Ultima modifica di gugo82 il 09/01/2019, 20:01, modificato 1 volta in totale.
Motivazione: Sistemate leggermente le formule.
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Re: Verifica proprietà sistemi teoria dei segnali

Messaggioda gugo82 » 09/01/2019, 20:27

Per i pedici basta un underscore. :wink:

Stanti le definizioni, direi che l’andamento delle cose è abbastanza ovvio... Dove trovi difficoltà?
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Re: Verifica proprietà sistemi teoria dei segnali

Messaggioda Ulisse802.11 » 10/01/2019, 00:40

Ho capito, grazie :D
La difficoltà che ho è portare alla pratica quelle definizioni, a parte quella di memoria che mi sembra la più semplice di tutte (non che le altre siano tanto complicate). Mi basterebbe un esempio di studio svolto per capire, dato che non ne ho neanche uno. Abbi pazienza
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Re: Verifica proprietà sistemi teoria dei segnali

Messaggioda gugo82 » 10/01/2019, 02:14

Prova tu.

Ad esempio, considera il primo sistema, cioè $x(t) \mapsto T[x](t):=sin x(t+5)$.
Ti sembra stabile? Perché?
Ti sembra lineare? Perché?
Ti sembra causale? Perché?
Ti sembra stazionario? Perché?
Ti sembra avere memoria? Perché?

P.S.: Incidentalmente, noto che la proprietà 1 potrebbe essere espresse meglio, così come la 2.
La stazionarietà equivale a dire che la legge che associa allo stato $x$ l’uscita $y=T[x]$ è invariante per traslazioni temporali (ciò si verifica, ad esempio, quando il sistema è governato da EDO autonome).
La 2 si potrebbe esprimere dicendo che \(T[x](t) = T[x_{\big|]-\infty, t]}](t)\) (ossia che il valore dell’uscita al tempo $t$ dipende unicamente dai valori della restrizione dell’ingresso $x$ all’intervallo $]-oo,t]$.

P.P.S.: Un chiarimento sulla 3... Essa sembra indicare che i sistemi con memoria siano quelli in cui l’operatore ingresso/uscita $T$ contiene quelli che in Analisi si chiamano di solito “operatori non locali”. Ad esempio, un sistema con memoria potrebbe essere quello con operatore ingresso/uscita $T[x](t) := ( int_(-oo)^(+oo) | x(tau)|text(d)tau )*x(t)$, o sbaglio?
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Re: Verifica proprietà sistemi teoria dei segnali

Messaggioda arnett » 10/01/2019, 09:29

Io non ho mai studiato segnali ma mi sembra strano che il tuo libro non affronti degli esempi su queste cose, che sono davvero basic. Puoi trovare del materiale utile qui, in particolare nel secondo fascicolo di appunti.

@gugo: da quello che ho fatto di sistemi dinamici, quello è sicuramente un sistema con memoria, ma a seconda delle definizioni che si danno può bastare molto di meno: per alcuni un sistema con memoria è semplicemente il contrario di un sistema istantaneo (basta qualsiasi situazione descritta da una EDO non banale).
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Re: Verifica proprietà sistemi teoria dei segnali

Messaggioda gugo82 » 10/01/2019, 10:54

@arnett: Nemmeno io ho mai studiato sistemi dinamici, per questo ho chiestole definizioni. :wink:
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Re: Verifica proprietà sistemi teoria dei segnali

Messaggioda Ulisse802.11 » 10/01/2019, 16:41

Ciao arnett, il link che mi hai fornito è esattamente quello che stavo cercando, ti ringrazio. Mi rimane solo un dubbio. In un esempio si studia la tempo varianza :
Tempo invarianza: Procediamo nuovamente calcolando y1(t) e y(t − t0):
$ y_1(t) = x(t − t_0) cos(t) $
$ y(t − t0) = x(t − t_0) cos(t − t_0) $
Il sistema `e tempo variante.

Il segnale di partenza è $ y(t) = x(t) cos(t+1) $
. Perché l'argomento del coseno viene cambiato in quel modo? Io mi aspettavo di trovare $ y_1(t) = x(t-t_0) cos(t+1-t_0) $ e sotto uguale, di conseguenza che in conclusione si trattasse di un segnale tempo invariante. Dov'è che sbaglio?
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Re: Verifica proprietà sistemi teoria dei segnali

Messaggioda gugo82 » 10/01/2019, 17:38

@Ulisse: Sarebbe però interessante se tu proponessi cenni di soluzione.
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