Sono nuovo del forum, e, per quanto ci abbia provato, non riesco a venire a capo di questo integrale:
\( \displaystyle \int_0^{+\infty}{\frac{\sqrt[3]{x}}{(x^2+4)^2}dx} \)
da risolvere con metodi di analisi complessa.
Dato che la radice terza è una funzione polidroma in campo complesso, ho scelto come sua determinazione:
\( \displaystyle \sqrt[3]{z}=(re^{i\theta})^{\frac{1}{3}}=r^{\frac{1}{3}}e^{i\frac{\theta}{3}}\quad \text{con}\quad 0<\theta < 2\pi \)
dopo aver considerato il piano complesso con un taglio coincidente con il semiasse reale positivo.
Ho quindi deciso di integrare la funzione complessa $f(z)=\frac{z^{\frac{1}{3}}}{(z^2+4)^2}$ lungo un cammino costituito da due segmenti (percorsi in senso opposto l'uno rispetto all'altro) $[\epsilon ; R]$ e le due circonferenze centrate nell'origine di raggio $\epsilon$ ed $R$ con $0<\epsilon<2<R$.
Analizzando l'integrale di $f(z)$ su questa curva e parametrizzando opportunamente segmenti e circonferenze scopro che:
\( \displaystyle \int_{\gamma}{f(z)dz}=(1-e^{\frac{2}{3}\pi i})\int_{\epsilon}^R{\frac{\sqrt[3]{x}}{(x^2+4)^2}dx} \)
mentre gli integrali sulle circonferenze non li ho scritti perché tendenti a $0$ per la disuguaglianza di Darboux.
Passando al limite per $\epsilon \rightarrow 0$ ed $R \rightarrow +\infty$ ed applicando il teorema dei residui:
\( \displaystyle \int_0^{+\infty}{\frac{\sqrt[3]{x}}{(x^2+4)^2}dx} = \frac{4\pi i}{3-i\sqrt{3}}[Res(f,2i)+Res(f,-2i)] \)
Passo quindi a calcolare i residui (che sono entrambi poli doppi).
Omettendo i conti, i risultati sono:
\( \displaystyle Res(f,2i) = \frac{\sqrt[3]{2}}{48}e^{-i\frac{\pi}{3}} \quad \text{e} \quad Res(f,-2i) = \frac{\sqrt[3]{2}}{48}e^{i\frac{\pi}{3}} \)
Perdonate il wallpost, ma ecco il problema: se sostituisco i residui nell'equazione precedente ottengo un numero complesso, e non un numero reale (come dovrebbe essere, dato che l'integranda è reale)
Perciò mi rimetto al vostro aiuto per capire cosa io abbia sbagliato: per favore aiutatemi a capire
Ringrazio in anticipo chiunque vorrà provare a risolvere l'integrale o quantomeno a suggerirmi dove potrei aver sbagliato
Se ne doveste aver bisogno posterò anche le parti che ho omesso di scrivere (come ad esempio i calcoli per trovare i residui o la parametrizzazione completa del cammino).
Se potessi allegherei anche il mio tentativo di risoluzione in qualche modo, fatemi sapere come posso aiutarvi ad aiutarmi ahah
Grazie
