Limiti complessi, due dubbi

[sgrisolo]

Avrei due dubbi sui limiti complessi

1)
Si vuole mostrare che $f(z)$ è un $o(1/|z|)$ per $|z|to oo$

$f(z)=z^2/((z^2+1)(z^2+4))$

nell'esercizio svolto il tutore scrive:

$f(z)~1/z^2, |z|to oo$ e conclude dicendo che f(z) tende a zero più velocemente di 1/z, il mio dubbio è però che non c'è traccia dei moduli (dei complessi in esame).

Tuttavia non capisco, mi pare che
Dovrei trovarmi a studiare: $lim_(|z|to oo)|z|/z^2$ (**) il numeratore è un reale che tende a infinito, il denominatore è un complesso; dunque se il limite da come risultato zero, dovrebbe essere lo zero complesso.
Quindi come si porta avanti tale limite (**) correttamente?

2)
Se invece avessi $lim_(|z| to oo) z^3/|z|$ come mi comporto? In realtà riflettendoci direi che limite a infinito vuol dire che:"se il modulo di z tende a infinito la funzione $|f(z)| to oo$, cioè in modulo, ergo
$lim_(|z| to oo) z^3/|z|=lim_(|z| to oo) |z^3/|z||=lim_(|z| to oo) |z^3|/|z|=lim_(|z| to oo) |z^2|=oo$

Corretto?
Perche se non ponessi in modulo la funzione non capisco come sfruttare "l'algebra estesa dei limiti" dato che ho modulo che tende a infinito enella funzione un $z^3$ che è un numero complesso e non un modulo.

Vorrei chiedere a qualcuno se potesse svolgerli correttamente per poter sseguire passo passo la soluzione corretta e capire a fondo, perché non riesco bene ad afferrare il concetto.

Grazie per l'aiuto

[wsualfredo]

Ciao. Mi espongo, solo sulla prima per ora, perché la domanda mi ha molto incuriosito. Ti dico che mi trovo anche io in fase di studio di questi argomenti. Quindi aspetta qualcuno più preparato perché potrei solo farneticare.

Forse, e dico forse, $ lim_(|z|to oo)|z|/z^2 $ considerando che un numero complesso puoi vederlo come: $z^2=|z^2|e^(i2\theta)$, riscrivendola: $ lim_(|z|to oo)|z|/(|z|^2e^(i2\theta))=lim_(|z|to oo)1/(|z|e^(i2\theta))$ che è zero ad infinito indipendentemente dall'angolo.

Nota che è diverso dall'infinito del limite di una funzione in due variabili proprio perché i complessi puoi scriverli in forma esponenziale come modulo*e^qualcosa e in tal caso torna utile per la semplificazione che porta a compimento il limite.

Non so se sia giusto, ma mi sono risposto così al tuo dubbio, è un interessante riflessione comunque.

Vediamo se gugo82 o qualcun'altro big mi bastonerà, come penso ; diciamo che ci ho provato.

[sgrisolo]

Grazie

Up: E' corretto come metodo?

[dissonance]

Wsalfredo ha ragione, ma in ogni caso il problema è nello svolgimento del tutor che non mi piace molto, perché dà luogo proprio a questo genere di dubbi. Meglio stimare da subito il modulo;
\[
|f(z)|\le \frac{|z|^2}{|z^2+1||z^2+4|}= \frac{1}{|z|^2}\frac{1}{|1+1/z^2||4+1/z^2|}, \]
e adesso non c'è nessuna ambiguità, perché a membro destro c'è il prodotto di \(|z|^{-2}\) per una funzione limitata in un intorno di \(\infty\).

[wsualfredo]

Contento di aver avuto l'approvazione di uno come dissonance!
uno dei "big" è arrivato

[sgrisolo]

Grazie e grazie ancora ragazzi!