Per un noto teorema, nel caso di una singolarità in $z_0$ polare d'ordine $n$ hai:
\[
\operatorname{Res} (f;z_0) = \frac{1}{(n-1)!}\ \lim_{z\to z_0} \frac{\text{d}^{n-1}}{\text{d}z^{n-1}} \Big[ (z-z_0)^n f(z)\Big]\; ,
\]
quindi nel caso in esame si tratta di calcolare in ogni $z_k$ (con $k in ZZ setminus \{ 0\}$) il:
\[
\operatorname{Res} (f;z_k) = \lim_{z\to z_k} \frac{\text{d}}{\text{d}z} \Big[ \frac{(z-z_k)^2}{1-\cos \frac{1}{z}}\Big]\; .
\]
Ciò si può fare in due modi modi:
- quello ovvio è sciropparsi tutti i conti della derivata, e poi usare cambiamenti di variabile nel limite e semplificazioni con le solite tecniche (leggi: limiti notevoli e/o formula di Taylor) nel calcolo del limite;
- quello meno ovvio è cambiare la variabile di limite e derivazione fin dall'inizio e sperare che tutto vada bene.
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Dato che $z_k=1/(2k pi)$, guidato dai conti che ho fatto nel post precedente penso di porre $zeta = 1/z - 2k\pi$, di modo che $zeta -> 0$ per $z -> 1/(2k\pi)$.
Abbiamo $z= 1/(zeta + 2kpi)$ e l'operatore di derivazione nel cambiamento di variabile si modifica come segue:
\[
\begin{split}
\frac{\text{d}}{\text{d} z} &= \frac{\text{d}\zeta }{\text{d} z}\ \frac{\text{d}}{\text{d} \zeta} \\
&= \frac{1}{\frac{\text{d} z}{\text{d}\zeta }}\ \frac{\text{d}}{\text{d} \zeta} \\
&= \frac{1}{-\frac{1}{(\zeta + 2k\pi )^2}}\ \frac{\text{d}}{\text{d} \zeta} \\
&= - (\zeta + 2k\pi )^2\ \frac{\text{d}}{\text{d} \zeta} \; ;
\end{split}
\]
conseguentemente:
\[
\begin{split}
\operatorname{Res} (f; z_k ) &= \lim_{z\to z_k} \frac{\text{d}}{\text{d}z} \left[ \frac{(z-z_k)^2}{1-\cos \frac{1}{z}} \right] \\
&= \lim_{\zeta \to 0} - (\zeta + 2k\pi )^2\ \frac{\text{d}}{\text{d} \zeta} \left[ \frac{\frac{\zeta^2}{(2k\pi)^2 (\zeta + 2k\pi )^2}}{1-\cos \zeta } \right] \\
&= \lim_{\zeta \to 0} - \frac{(\zeta + 2k\pi )^2}{(2k\pi)^2}\ \frac{\text{d}}{\text{d} \zeta} \left[ \frac{\zeta^2}{(\zeta + 2k\pi )^2 (1-\cos \zeta )} \right] \\
&= - \lim_{\zeta \to 0} \frac{\text{d}}{\text{d} \zeta} \left[ \frac{\zeta^2}{(\zeta + 2k\pi )^2 (1-\cos \zeta )} \right] \; ,
\end{split}
\]
in cui nell'ultimo passaggio ho tenuto presente che è possibile applicare la regola del prodotto dei limiti perché il limite del secondo fattore deve esistere finito (per proprietà del polo); abbiamo dunque:
\[
\begin{split}
\operatorname{Res} (f; z_k ) &= - \lim_{\zeta \to 0} \frac{\text{d}}{\text{d} \zeta} \left[ \frac{\zeta^2}{(\zeta + 2k\pi )^2 (1-\cos \zeta )} \right] \\
&= - \lim_{\zeta \to 0} \left[ \frac{2\zeta}{(\zeta + 2 k\pi )^2 (1-\cos \zeta )} - \frac{2\zeta^2}{(\zeta + 2k\pi )^3 (1-\cos \zeta)} - \frac{\zeta^2 \sin \zeta}{(\zeta + 2k\pi)^2 (1-\cos \zeta )^2}\right] \\
&= - \lim_{\zeta \to 0} \left[ \frac{2\zeta (1-\cos \zeta ) - \zeta^2 \sin \zeta}{(\zeta + 2 k\pi )^2 (1-\cos \zeta )^2} - \frac{2\zeta^2}{(\zeta + 2k\pi )^3 (1-\cos \zeta)}\right] \\
&\stackrel{\text{Taylor}}{=} - \lim_{\zeta \to 0} \left[ \frac{\text{o}(\zeta^3)}{(\zeta + 2 k\pi )^2 (1-\cos \zeta )^2} - \frac{4}{(\zeta + 2k\pi )^3 }\right] \\
&= \frac{1}{2k^3\pi^3}
\end{split}
\]
per ogni $k in ZZ setminus \{ 0\}$.
Per quanto riguarda il residuo all'infinito, esso per definizione coincide col residuo in $w_0=0$ della funzione ausiliaria $phi (w) = -1/w^2 f(1/w) = -1/w^2 1/(1-cos w)$, la quale ha in $0$ un polo d'ordine $4$.
Due strade:
- o ti sciroppi tutti i contazzi con la solita formula contenente derivate;
- oppure cerchi di sviluppare la funzione ausiliaria in serie di Laurent con qualche accorgimento e speri vada bene.
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Seguo la seconda strada, sperando di non far male i conti con le serie di potenze (rischio sempre presente, quindi controlla!).
Hai:
\[
\begin{split}
\phi (w) &= - \frac{1}{w^2}\ \frac{1}{1-\cos w} \\
&= - \frac{1}{w^2}\ \frac{1}{\frac{1}{2} w^2 - \frac{1}{24} w^4 + \frac{1}{720} w^6 +\text{o}(w^7) } \\
&= - \frac{1}{w^2}\ \frac{2}{w^2 (1 - \frac{1}{12} w^2 + \frac{1}{360} w^4 +\text{o}(w^5)} \\
&= - \frac{2}{w^4}\ \frac{1}{1 - (\frac{1}{12} w^2 - \frac{1}{360} w^4 +\text{o}(w^5))} \\
&= - \frac{2}{w^4}\ \left( 1 + (\frac{1}{12} w^2 - \frac{1}{360} w^4 +\text{o}(w^5)) + (\frac{1}{12} w^2 - \frac{1}{360} w^4 +\text{o}(w^5))^2 + text{o}\left( (\frac{1}{12} w^2 - \frac{1}{360} w^4 +\text{o}(w^5))^2\right)\right)\\
&= - \frac{2}{w^4}\ \left( 1 + \frac{1}{12} w^2 - \frac{1}{360} w^4 + \frac{1}{144} w^4 + \text{o}(w^4)\right)\\
&= \underbrace{-\frac{2}{w^4} - \frac{1}{6 w^2}}_{\text{parte singolare}} \underbrace{-\frac{1}{120} + \text{o}(1)}_{\text{parte regolare}}
\end{split}
\]
da cui segue immediatamente:
\[
\operatorname{Res} (f;\infty) = \operatorname{Res} (\phi ; 0) = 0\; .
\]
Questi sono contazzi che a mano non fa più nessuno: esistono software appositi per svolgerli...
Io, come d'abitudine, ho rispolverato un po' di tecniche apprese tra i banchi dell'università e le ho rimesse insieme per proporre un'alternativa ai soliti metodi proposti dai testi.
Spero che la perizia venga apprezzata e non segnalata ai moderatori (
) come esempio di esercizio svolto contro il regolamento interno del forum.
Infatti, contrariamente a chi segnala inopinatamante ad un moderatore un suo stesso post
1, non è mia abitudine spiattellare su due piedi soluzioni né per l'infantile tentativo di essere il primo a rispondere, né per scavalcare brutalmente utenti già intervenuti in un thread per indirizzare la conversazione su binari più adatti.
Moderatore: gugo82
@pilloeffe: Una segnalazione come la tua viene perdonata una volta, per supposta ingenuità o supposto intento (ancorché puerile) di rivalsa.
Un comportamento del genere, però, non verrà tollerato oltre.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)