Ciao a tutti,
oggi stavo studiando il teorema dell'alternativa su spazi di Hilbert, il cui enunciato suona così:
Sia $(A,D_A)$ un operatore densamente definito, $A:D_A\subseteq H\mapsto R_A\subseteq H$ tale che il suo range $R_A$ sia un insieme chiuso. Allora l'equazione $Ax=y$ ammette soluzioni se e solo se $y$ è perpendicolare a $ker(A^+)$.
Ora, l'ipotesi che non capisco è che $R_A$ debba essere un insieme chiuso. Nella dimostrazione, si afferma che:
essendo $R_A$ chiuso, è un sottospazio rispetto al quale $$H=R_A \oplus R_A^{\perp}$$.
dove col simbolo di perpendicolare si intende il completamento ortogonale di $R_A$ rispetto ad $H$. La mia domanda è: perché è necessario che sia chiuso per verificare tale proprietà? Secondo il teorema di decomposizione ortogonale, basta che un qualsiasi insieme $I$ sia un sottospazio di $H$ per affermare che
$$H=I\oplus I^{\perp}$$
quindi, sembrerebbe che essere chiuso significhi automaticamente essere un sottospazio, proprietà quest'ultima non vera a priori.