Luca.Lussardi ha scritto:Usare la notazione $\int f(x)\delta_0(x)dx$ va benissimo ovviamente ma a patto che si ricordi che non si tratta di un integrale fatto rispetto alla misura $dx$. Per evitare ogni ambiguità di notazione io a lezione ho sempre usato la dualità alla Dirac invece che l'integrale.
Certamente; è sicuramente più corretto dal punto di vista formale, e probabilmente va meglio per una lezione di matematica. Dipende da quello che uno fa, immagino. Nell'articolo che ho citato, che come notazioni risale a Klainerman e Machedon (anni '90), si usa \(\delta(x)\, dx\) per poter sfruttare questa formula:
\[
\delta(\phi(x))dx=\frac{d\sigma}{|\nabla \phi(x)|},\]
dove \(d\sigma\) è la misura superficiale su \(\{x\in\mathbb R^n\ :\ \phi(x)=0\}\). Questa formula permette di scrivere gli integrali di superficie come integrali su \(\mathbb R^n\); per esempio
\[
\int_{\mathbb S^{n-1}} f\, d\sigma = \int_{\mathbb R^n} f(x)\delta(1-|x|)\, dx, \]
perché \(\nabla(1-|x|)\) ha modulo \(1\) su \(\mathbb S^{n-1}\).
Il vantaggio di questa notazione è che il teorema della divergenza diventa, formalmente, una integrazione per parti standard. Infatti, usando la notazione \(H(t)\) per il gradino di Heaviside,
\[
\begin{split}
\int_{|x|\le 1}\partial_{x_j} f(x)\, dx &= \int_{\mathbb R^n} \partial_{x_j}f(x) H(1-|x|)\, dx \\
&=-\int_{\mathbb R^n} f(x)\partial_{x_j}\big( H(1-|x|)\big)\, dx \\
&= -\int_{\mathbb R^n} f(x)H'(1-|x|)\left( -\frac{x_j}{|x|}\right)\, dx \\
&=\int_{\mathbb R^n} f(x)\delta(1-|x|) x_j\, dx \\
&=\int_{\mathbb S^{n-1}}f n_j\ d\sigma,
\end{split}
\]
dove \(n_j\) denota la \(j\)-esima componente del versore normale a \(\mathbb S^{n-1}\). Qui ho preso la sfera, ma è solo un esempio; lo stesso calcolo si può fare su qualsiasi superficie, purché sia assegnata come luogo degli zeri di una funzione.