- Introduzione -
Vista la crescente richiesta di chiarimenti su tale argomento, ho pensato di scrivere qualcosa che riassumesse alcuni fatti elementari (a me noti ed oltremodo utili da applicare negli esercizi) sulla classificazione degli zeri e delle singolarità delle funzioni olomorfe.
Mi propongo di strutturare questo thread come segue:
- a parte questa breve introduzione ed un paragrafo sulle notazioni, il primo post è dedicato alla classificazione degli zeri delle funzioni olomorfe;
- il secondo post è dedicato alla classificazione delle singolarità isolate;
- il terzo post sarà dedicato al legame esistente tra le due nozioni (di zero e di singolarità) e le rispettive classificazioni;
- il quarto conterrà lo svolgimento di qualche esercizio ed i link agli esercizi più significativi che si trovano già svolti sul forum.
L'analisi degli esempi (usualmente semplici) è lasciata al lettore come esercizio.
Chiunque voglia segnalare errori, imprecisioni o modifiche da apportare a questi post (o, perché no, ringraziarmi per averli scritti) è pregato di inviarmi un PM.
Grazie.
***
Notazione e Prerequisiti:
Quando non espressamente detto il contrario, qui e nei post successivi supporremo che:
- $Omega subseteq CC$ è aperto,
- $f:Omega -> CC$ è una funzione olomorfa in $Omega$,
- $z_0 in CC$.
Supponiamo cosa nota, inoltre, che una funzione olomorfa $f$ in $Omega$ è di classe $C^oo (Omega)$ (cioè è dotata di derivate complesse d'ordine comunque elevato in ogni punto di $Omega$) e che, di più, $f$ è analitica in ogni punto di $Omega$ (cioè che lo sviluppo in serie di Taylor $sum_(n=0)^oo c_n (z-z_0)^n$ di $f$ con centro in ogni $z_0 \in Omega$ converge verso $f$ in un opportuno intorno circolare di $z_0$ con raggio positivo).
***
- Zeri di Funzioni Olomorfe -
Supponiamo che $z_0 in Omega$.
Si dice che $z_0$ è uno zero di $f$ in $Omega$ se risulta $f(z_0)=0$.
Denotando (come si usa da Analisi I) con $f^((k))$ la derivata $k$-esima di $f$, possiamo precisare cosa si itende per ordine di uno zero di una funzione olomorfa:
Sia $z_0$ uno zero di $f$ in $Omega$.
Se esiste un numero $nu in NN \setminus \{ 0\}$ tale che:
\[
\begin{cases}
f^{(\nu)}(z_0) \neq 0 \\
f^{(n)}(z_0) = 0 &\text{per ogni } 0\leq n < \nu
\end{cases}
\]
si dice che $z_0$ è uno zero d'ordine $nu$ per $f$ in $Omega$ ed il numero $nu$ si chiama ordine di $z_0$.
Se, invece, un tale $nu in NN\setminus \{0\}$ non esiste, ossia se risulta:
\[
f^{(n)} (z_0) = 0 \text{ per ogni } n \in \mathbb{N}\; ,
\]
si dice che $z_0$ è uno zero d'ordine infinito per $f$ in $Omega$.
Dunque, per definizione, l'ordine $nu$ di uno zero di una funzione olomorfa coincide con l'ordine della prima tra le derivate di $f$ che non si annulla in $z_0$. Ciò fornisce un metodo diretto per calcolare l'ordine di uno zero sfruttando il Calcolo Differenziale.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Per proporre un esempio semplice, consideriamo la funzione $f(z) := e^((z-1)^2) - 1$.
In $z_0=1$ abbiamo:
\[
\begin{split}
f(z) = e^{(z-1)^2} - 1 \quad &\Rightarrow \quad f(1) = e^0 - 1 = 0\\
f^\prime (z) = 2(z-1)e^{(z-1)^2} \quad &\Rightarrow \quad f^\prime (1) = 0e^0 = 0\\
f^{\prime \prime} (z) = 2(2z^2 - 4z +3)e^{(z-1)^2} \quad &\Rightarrow \quad f^{\prime \prime} (1) = 2e^0 = 2\neq 0
\end{split}
\]
quindi $z_0=1$ è uno zero d'ordine $nu = 2$.
In $z_0=1$ abbiamo:
\[
\begin{split}
f(z) = e^{(z-1)^2} - 1 \quad &\Rightarrow \quad f(1) = e^0 - 1 = 0\\
f^\prime (z) = 2(z-1)e^{(z-1)^2} \quad &\Rightarrow \quad f^\prime (1) = 0e^0 = 0\\
f^{\prime \prime} (z) = 2(2z^2 - 4z +3)e^{(z-1)^2} \quad &\Rightarrow \quad f^{\prime \prime} (1) = 2e^0 = 2\neq 0
\end{split}
\]
quindi $z_0=1$ è uno zero d'ordine $nu = 2$.
Vale, in maniera ovvia, il seguente fatto:
Il punto $z_0$ è uno zero d'ordine $nu$ per $f$ in $Omega$ se e solo se:
\[
\begin{cases}
c_\nu \neq 0 \\
f(z) = \sum_{n=\nu}^\infty c_n\ (z-z_0)^n \text{, per ogni } z \in D(z_0;r) \subseteq \Omega \text{ ($r>0$)}
\end{cases}
\]
(qui e nel seguito $D(z_0;r)=\{z in CC:\ |z-z_0|<r\}$ è l'intorno circolare aperto di $z_0$ di raggio $r>0$).
il che significa che la serie di Taylor di $f$ di centro $z_0$ non contiene nessuna potenza di $z-z_0$ con esponente minore di $nu$; inoltre, dal teorema precedente discende immediatamente che:
Il punto $z_0$ è uno zero d'ordine $nu$ per $f$ in $Omega$ se e solo se:
\[
\lim_{z\to z_0} \frac{f(z)}{(z-z_0)^n} = \begin{cases} 0 &\text{, se } 0\leq n < \nu \\ l \in \mathbb{C}\setminus \{0\} &\text{, se } n=\nu \\ \infty &\text{, se } n>\nu \end{cases}
\]
(ovviamente $n in NN$), ossia se esiste un $l!=0$ tale che $f(z) = l*(z-z_0)^nu + text(o)( (z - z_0)^nu)$ per $z -> z_0$.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
La funzione $f(z) = e^((z-1)^2) - 1$ dell'esempio precedente ha in $z_0=1$ uno zero d'ordine $nu =2$.
Proviamo questo fatto usando tecniche che sfruttano i teoremi precedenti.
Sviluppando in serie con l'ausilio della nota serie di Taylor $e^w = sum_(n=0)^oo 1/(n!) w^n$ otteniamo:
\[
f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\ (z-1)^{2n} - 1 = 1 + (z-1)^2 + \frac{1}{2} (z-1)^4 +\cdots + \frac{1}{n!}\ (z-1)^{2n} + \cdots - 1 = (z-1)^2 + \frac{1}{2} (z-1)^4 +\cdots + \frac{1}{n!}\ (z-1)^{2n} + \cdots
\]
e da ciò segue che $nu = 2$.
Analogamente, calcolando il limite con l'ausilio del Principio di Sostituzione degli Infinitesimi, otteniamo:
\[
\lim_{z\to 0} \frac{e^{(z-1)^2} - 1}{(z-1)^n} = \lim_{z\to 0} \frac{(z-1)^2}{(z-1)^n} = \begin{cases} 0 &\text{, se } n<2 \\ 1 &\text{, se } n=2\\ \infty &\text{, se } n>2\end{cases}
\]
cosicché ritroviamo $nu=2$.
Proviamo questo fatto usando tecniche che sfruttano i teoremi precedenti.
Sviluppando in serie con l'ausilio della nota serie di Taylor $e^w = sum_(n=0)^oo 1/(n!) w^n$ otteniamo:
\[
f(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\ (z-1)^{2n} - 1 = 1 + (z-1)^2 + \frac{1}{2} (z-1)^4 +\cdots + \frac{1}{n!}\ (z-1)^{2n} + \cdots - 1 = (z-1)^2 + \frac{1}{2} (z-1)^4 +\cdots + \frac{1}{n!}\ (z-1)^{2n} + \cdots
\]
e da ciò segue che $nu = 2$.
Analogamente, calcolando il limite con l'ausilio del Principio di Sostituzione degli Infinitesimi, otteniamo:
\[
\lim_{z\to 0} \frac{e^{(z-1)^2} - 1}{(z-1)^n} = \lim_{z\to 0} \frac{(z-1)^2}{(z-1)^n} = \begin{cases} 0 &\text{, se } n<2 \\ 1 &\text{, se } n=2\\ \infty &\text{, se } n>2\end{cases}
\]
cosicché ritroviamo $nu=2$.
Più delicato è il seguente teorema (immagino pure noto) che è usualmente chiamato Principio d'Identità delle Funzioni Analitiche (PIFA):
Se $Omega$ è un aperto connesso, $f$ ha uno zero d'ordine infinito in $z_0 in Omega$ se e solo se $f(z)=0$ identicamente in $Omega$.
il quale afferma che l'unica funzione olomorfa in un aperto connesso che può avere zeri d'ordine infinito è la funzione identicamente nulla, chiudendo in maniera quasi definitiva la questione degli zeri d'ordine infinito.1
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Il PIFA può essere reso più preciso. Invero, si dimostra che se $z_0$ non è uno zero isolato (i.e., se $f(z_0)=0$ ed in ogni intorno di $z_0$ esiste un punto $zeta != z_0$ tale che $f(zeta)=0$) oppure se $z_0$ è un punto di accumulazione di zeri di $f$ (i.e., se esiste una successione $(z_n) subset Omega$ tale che $f(z_n)=0$ per ogni $n$ e che $z_n -> z_0$), allora $z_0$ è uno zero d'ordine infinito per $f$ e, di conseguenza, $f$ è nulla in $Omega$.
Riassumendo: se una funzione olomorfa $f$ ha uno zero $z_0$ che ha ordine infinito, o che non è isolato o se $f$ si annulla in punti interni al dominio che hanno un'accumulazione $z_0$ interna al dominio, allora la $f$ è identicamente nulla intorno a $z_0$ (ed in tutto l'aperto, se esso è connesso); da ciò segue che le funzioni olomorfe che non sono identicamente nulle (intorno ad alcun punto interno al loro aperto di definizione) hanno solo zeri d'ordine finito ed isolati interni al proprio dominio.
Riassumendo: se una funzione olomorfa $f$ ha uno zero $z_0$ che ha ordine infinito, o che non è isolato o se $f$ si annulla in punti interni al dominio che hanno un'accumulazione $z_0$ interna al dominio, allora la $f$ è identicamente nulla intorno a $z_0$ (ed in tutto l'aperto, se esso è connesso); da ciò segue che le funzioni olomorfe che non sono identicamente nulle (intorno ad alcun punto interno al loro aperto di definizione) hanno solo zeri d'ordine finito ed isolati interni al proprio dominio.
Le cose cambiano in modo ovvio quando si analizza il comportamento all'infinito. In particolare:
Si dice che $oo$ è uno zero di $f$ se e solo se la funzione ausiliaria:
\[
g(w) := f\left( \frac{1}{w}\right)
\]
ha uno zero in $w_0=0$, i.e. se $g(0)=0$.
Si dice che $oo$ è uno zero d'ordine $nu$ per $f$ se e solo se $g$ ha uno zero d'ordine $nu$ in $w_0=0$.
I cambiamenti dovuti alla sostituzione $z=1/w$ si riflettono in maniera del tutto ovvia sui risultati precedenti:
Il punto $oo$ è uno zero d'ordine $nu$ per $f$ se e solo se:
\[
\begin{cases}
c_{-\nu} \neq 0 \\
f(z) = \sum_{n=\nu}^\infty c_{-n}\ \frac{1}{z^n} \text{, per ogni } z \in \Omega \text{ con $|z|>R>0$}
\end{cases}\; .
\]
il che significa che la serie di Laurent che converge ad $f$ intorno ad $oo$ non contiene nessuna potenza di $1/z$ con esponente minore di $nu$; e dal precedente risultato segue che:
Il punto $oo$ è uno zero d'ordine $nu$ per $f$ se e solo se:
\[
\lim_{z\to \infty} z^n \cdot f(z) = \begin{cases} 0 &\text{, se } 0\leq n < \nu \\ l \in \mathbb{C}\setminus \{0\} &\text{, se } n=\nu \\ \infty &\text{, se } n>\nu \end{cases}
\]
(ovviamente $n in NN$), cioè se esiste $l != 0$ tale che $f(z) = l/z^nu + text(o)(1/z^nu)$ per $z -> oo$.
Esempi:
Il lettore faccia i conti che servono a dimostrare quanto riportato di seguito.
- La funzione $f(z):=z^4$ ha uno zero d'ordine $4$ in $z_0=0$;
- la funzione $f(z) := e^{z-mathbf(i)) -1$ ha uno zero d'ordine $1$ in $z_0=mathbf(i)$ ed in ogni punto del tipo $z_k = mathbf(i) + 2kpi mathbf(i)$ (con $k in ZZ$);
- la funzione $f(z):= cos z -1$ ha uno zero d'ordine $2$ in $z_0=0$ ed in ogni punto del tipo $z_k=2kpi$ (con $k in ZZ$);
- la funzione $f(z) := e^{z-z^2} - 1$ ha uno zero d'ordine $1$ in $z_0=0$ ed in $z_1=1$;
- la funzione $f(z) := \sin^3 (z^2)$ ha uno zero d'ordine $6$ in $z_0=0$ e d'ordine $3$ in $z_1=sqrt(pi)$;
- la funzione $f(z) := cos(1/z) - 1$ ha uno zero d'ordine $2$ in $oo$;
- la funzione $f(z) := e^((z-1)/z^2) - 1$ ha uno zero d'ordine $1$ in $oo$.
Il seguente teorema è di semplice dimostrazione ed illustra una proprietà fondamentale dell'ordine degli serie:
Se $z_0 in CC uu \{ oo \}$ è uno zero per due funzioni olomorfe $f_1$ ed $f_2$ d'ordine, rispettivamente, $nu_1$ e $nu_2$ allora:
- $f_1+-f_2$ ha in $z_0$ uno zero d'ordine $nu >= min \{ nu_1, nu_2\}$;
- $f_1*f_2$ ha in $z_0$ uno zero d'ordine $nu = nu_1+nu_2$;
- $f_1^p$ ($p in NN \setminus \{ 0\}$) ha in $z_0$ uno zero d'ordine $nu = p nu_1$.
La disuguaglianza per l’ordine di uno zero di $f_1 +- f_2$ può essere stretta, i.e. può accadere che $nu > min \{ nu_1, nu_2\}$.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Ad esempio, le funzioni $f_1(z) := z$ e $f_2(z) := z^2 - z$ hanno in $z_0=0$ uno zero d’ordine $nu_1=1=nu_2$, però la funzione $f_1(z)+f_2(z) := z^2$ ha in $z_0$ uno zero d’ordine $nu=2 > 1 = min \{ nu_1,nu_2\}$.
Dunque, in generale, per stabilire esattamente l’ordine di uno zero per la somma algebrica di due funzioni olomorfe è necessario sviluppare in serie di Taylor.
Esempi:
Il lettore dimostri quanto segue.
- la funzione $f(z)=z$ ha in $z_0=0$ uno zero d’ordine $1$, perciò ogni funzione potenza $f_n(z) := z^n = f^n(z) $ ha in $z_0=0$ uno zero d’ordine $n*1=n$;
- le funzioni $f_1(z) := z$ ed $f_2(z) := sin z$ hanno zero del primo ordine in $z_0=0$, perciò il loro prodotto $f(z) := z*sin z$ ha in $z_0=0$ uno zero d’ordine $2$;
- le funzioni $f_1(z) := 2(cos z - 1)$ ed $f_2(z) := e^(z^2) - 1$ hanno in $z_0=0$ uno zero entrambe di ordine $2$, perciò il loro prodotto $f(z) := 2 (cos z - 1)*( e^(z^2) - 1)$ ha in $z_0=0$ uno zero d’ordine $4$;
- se $f_1$ ed $f_2$ sono come al punto precedente, l’ordine di $z_0=0$ come zero di $f_1 + f_2$ è $nu >= 2$; per calcolare esattamente $nu$, sviluppiamo in serie di Taylor ottenendo:
\[
\left. \begin{split} 2 (\cos z - 1) &= - z^2 + \frac{1}{12} z^4 - \frac{1}{360} z^6 + \cdots + \frac{2 \cdot (-1)^k}{(2k)!} z^{2k} + \cdots \\ e^{z^2} - 1 &= z^2 + \frac{1}{2} z^4 + \frac{1}{6} z^6 + \cdots + \frac{1}{k!} z^{2k} + \cdots \end{split} \right\}\quad \Rightarrow \quad f(z) = \frac{7}{12} z^4 - \frac{59}{360} z^6 + \cdots
\]
cosicché $nu = 4$. - la funzione $f(z) = cosh z - e^z$ ha uno zero in $z_0=0$; per stabilirne l’ordine sviluppiamo gli addendi in serie di Taylor:
\[
\left. \begin{split} \cosh z &= 1 + \frac{1}{2} z^2 + \frac{1}{24} z^4 + \cdots + \frac{1}{(2k)!} z^{2k} + \cdots \\ e^z &= 1 + z + \frac{1}{2} z^2 + \frac{1}{6} z^3 + \cdots + \frac{1}{n!} z^n + \cdots \end{split} \right\}\quad \Rightarrow \quad f(z) = -z - \frac{1}{6} z^3 - \cdots - \frac{1}{(2k+1)!}z^{2k+1} + \cdots = - \sinh z
\]
è da ciò appare evidente che $z_0=0$ è uno zero d’ordine $1$.
- Ciò non accade nel caso reale ed è la principale differenza tra la teoria delle funzioni reali (Analisi Reale) e quella delle funzioni complesse (Analisi Complessa).
Infatti la funzione $f:RR -> RR$ definita ponendo:
\[
f(x) := \begin{cases} e^{-1/x^2} &\text{, se } x\neq 0\\ 0 &\text{, se } x=0 \end{cases}
\]
è di classe $C^oo(RR)$ ed ha tutte le derivate nulle in $0$ pur non essendo identicamente nulla in $RR$. ↑