Il lemma di Scheffé è un risultato classico e facile. La versione per operatori è altrettanto interessante.
Problema. Sia \( \{ \psi_n\}_{n \ge 1} \) una base ortonormale di \( L^2 (\mathbb{R};\mathbb{C}) \). Consideriamo \( \rho : L^2 (\mathbb{R};\mathbb{C} ) \to L^2 (\mathbb{R};\mathbb{C} ) \) lineare, limitato, autoaggiunto, con \[ \text{tr}(\rho)=\sum_{n=1}^\infty \langle \rho (\psi_n), \psi_n \rangle = 1 \]e \( \rho \ge 0\) ( - quest'ipotesi potrebbe essere superflua, ma lasciamola qui). Sia ora una successione di operatori \( \rho_n : L^2 (\mathbb{R};\mathbb{C} ) \to L^2 (\mathbb{R};\mathbb{C} ) \) lineari, limitati, autoaggiunti, con \( \text{tr} (\rho_n ) =1 \) e \( \rho_n \ge 0 \) (same here); supponiamo che \[ \rho_n ^{(j,k)} = \langle \rho_n (\psi_j),\psi_k \rangle \to \rho ^{(j,k)} = \langle \rho (\psi_j),\psi_k \rangle \quad \forall \,j,k \]quando \( n \to \infty\). Mostrare che \[ \lim_{n \to \infty} \| \rho_n - \rho \|_1 = \lim_{n \to \infty} \text{tr}|\rho_n - \rho|=0 .\]
Edit. Aggiunta un'ipotesi (e' un'esercizio che ho dedotto da un paper che stavo leggendo, non sono sicuro che il set delle ipotesi sia minimale).