Gil-Pelaez / Trasformata di Fourier

[mobley]

Buongiorno ragazzi, rieccomi qui (purtroppo o per fortuna ).

Sto studiando l'assunto di Gil-Pelaez (formula all'inizio di pag. 2 qui descritta: http://www.rogerlord.com/fourierinversionmethods.pdf), che a lezione ci è stato così proposto:

$ P_j=mathbb(Q)(ln(S)>=ln(K)):=1/2+1/\pi\int_(0)^(\infty)Re[(e^(-iu ln(K))f_j(u,x,v))/(iu)]du,\forallj=1,2 $.

Da notarsi il cambio di variabili $S=e^xrArr x=ln (S)$ rispetto alla formula del link per comodità. Bene.
I due autori sono giunti a questo risultato sfruttando le proprietà della trasformata e dell'antitrasformata di Fourier, rispettivamente $ hat(f)(u):=\int_(-\infty)^(+\infty)e^(iux)f(x)dx $ e $ f(x)=1/(2\pi)\int_(-\infty)^(+\infty)e^(-iux)hat(f)(u)du $.
Tuttavia (come spesso accade purtroppo) ci è stato detto "dò per scontato che sappiate di cosa sto parlando", non rendendosi conto (ancora una volta) che dare per scontato qualcosa significa impedire ad uno studente di capire.
In nessun corso infatti è stato finora affrontato l'argomento, quindi ci ritroviamo ahìnoi a studiare da autodidatti.
Ho letto qua e là su internet cercando di capire cosa sia questa trasformata di Fourier, anche qui sul forum ma con risultati molto scarsi. Vi chiederei quindi, se possibile, di aiutarmi a capire il "senso" di questo integrale… da dove nasce, perché, qual'è il suo obiettivo, il significato della notazione utilizzata (ad eccezione di $i$ che credo si tratti dell'unità immaginaria ed $Re$ che sembrerebbe rimandare all'appartenenza della funzione integranda ad $\mathbb(R))$.

Sono di nuovo nelle vostre mani, spero possiate aiutarmi

[gabriella127]

Ciao Mobley, ti scrivo non come competente in materia, ma per solidarietà umana.
Infatti vengo anche io da economia (anche se non finanza e molti anni fa) e so come si tenda a tirare via la matematica a economia.
Non so come si pretenda che conosciate la trasformata di Fourier in analisi matematica.

Però vedo che, nell'articolo che hai meso nel link, siamo nel contesto dei processi stocastici.
In probabilità la trasformata di Fourier della distribuzioni di probabilità (per variabili casuali continue) è la funzione caratteristica. Vedi ad esempio il libro Dall'Aglio, Calcolo delle probabilità, o qualche altro libro di probabilità, oppure cerca 'funzione caratteristica' su Wikipedia.

Penso quindi che potrebbero aiutarti qui soprattutto nella sezione Statistica e probabilità, dove ho visto qualche post su questo argomento, ti consiglio di rivolgerti lì. Lo so che è vietato il cross posting, ma in questo caso mi sembra giustificato, siamo all'incrocio tra due materie.
E poi mi sembra il caso di chiedere indicazioni al professore, anche al professore di probabilità, è vostro diritto.

Naturalmente se vuoi farti un'idea della trasformata di Fourier in ambito non probabilistico in questa sezione potranno darti indicazioni, ad esempio puoi guardare un libro classico, Rudin, Analisi reale e analisi complessa, anche se il salto da quello che mi sembra hai fatto ad analisi 1 e 2 mi pare eccessivo.

Anche perché molte volte ad economia non è che si chieda la teoria, ma solo 'come si fa'.

[mobley]

Ciao Mobley, ti scrivo non come competente in materia, ma per solidarietà umana.
Infatti vengo anche io da economia (anche se non finanza e molti anni fa) e so come si tenda a tirare via la matematica a economia.
Non so come si pretenda che conosciate la trasformata di Fourier in analisi matematica.

Però vedo che, nell'articolo che hai meso nel link, siamo nel contesto dei processi stocastici.
In probabilità la trasformata di Fourier della distribuzioni di probabilità (per variabili casuali continue) è la funzione caratteristica. Vedi ad esempio il libro Dall'Aglio, Calcolo delle probabilità, o qualche altro libro di probabilità, oppure cerca 'funzione caratteristica' su Wikipedia.

Penso quindi che potrebbero aiutarti qui soprattutto nella sezione Statistica e probabilità, dove ho visto qualche post su questo argomento, ti consiglio di rivolgerti lì. Lo so che è vietato il cross posting, ma in questo caso mi sembra giustificato, siamo all'incrocio tra due materie.
E poi mi sembra il caso di chiedere indicazioni al professore, anche al professore di probabilità, è vostro diritto.

Naturalmente se vuoi farti un'idea della trasformata di Fourier in ambito non probabilistico in questa sezione potranno darti indicazioni, ad esempio puoi guardare un libro classico, Rudin, Analisi reale e analisi complessa, anche se il salto da quello che mi sembra hai fatto ad analisi 1 e 2 mi pare eccessivo.

Anche perché molte volte ad economia non è che si chieda la teoria, ma solo 'come si fa'.

Grazie mille gabriella, sia per la risposta che per la solidarietà. Non mi sento granché compreso qui tra i matematici, che spesso etichettano le mie domande come banali (se non peggio)
Pensa, proprio ora ho riaperto un thread in Statistica che affrontava esattamente una cosa alla quale, a quanto pare, mi hai già risposto tu con questo post. Ovvero a dire la differenza tra funzione caratteristica e trasformata di Fourier. La condizione di Gil-Pelaez, infatti, definisce $f_j$ come funzione caratteristica che però, per quanto hai scritto tu e tommik nell'altro post, non è altro che la trasformata di Fourier. Assodato questo, allora, mi viene da chiederti: se sono la stessa cosa, che senso avrebbe andare a studiare (cito) "come è fatta la funzione caratteristica associata alla trasformata di Fourier associata al modello di Heston"? Se sono la stessa cosa, già la conosciamo la forma della trasformata… Invece il docente, partendo dalla $f_j=f_j(u,x,v)$ della condizione di Gil-Pelaez e sfruttando la struttura dei modelli affini, afferma che $f_j:=exp{C_j(\tau,u)+D_j(\tau,u)v+iux}$ (con $\tau:=T-t$), da cui segue poi un sistema di equazioni differenziali di cui una è un'equazione di Riccati.

[gabriella127]

Figurati!
Io invece mi trovavo a disagio tra gli economisti che ammollavano cose difficilissime di matematica come fossero acqua fresca, tipo il principio del massimo di Pontryagin, e sembravi cretino se pensavi che non fosse banale (per inciso, la dimostrazione du uno dei principi del massimo nel libro di Pontryagin è lunga quaranta pagine).
Non so come fate la matematica voi a finanza, ma non ti preoccupare di fare domande qui, sicuramente non sono banali, è solo che probabilmente fai matematica in modo diverso e meno approfondito che a matematica.
Anche le equazioni differenziali, quando le ho poi viste a un corso a matematica, voleva andare a fare causa agli economisti per come ce le avevano insegnate.
Forse però ora voi ne fate di più rispetto a prima.

In merito alla funzione caratteristica, vedo se posso aiutarti, non è che sia esperta del settore, finanza ne so poco o niente, tranne due esami di matematica finanziaria a suo tempo.
Però, scusa ma la citazione da dove è? Senza contesto non ci capisco.

[mobley]

Figurati!
Io invece mi trovavo a disagio tra gli economisti che ammollavano cose difficilissime di matematica come fossero acqua fresca, tipo il principio del massimo di Pontryagin, e sembravi cretino se pensavi che non fosse banale (per inciso, la dimostrazione du uno dei principi del massimo nel libro di Pontryagin è lunga quaranta pagine).
Non so come fate la matematica voi a finanza, ma non ti preoccupare di fare domande qui, sicuramenete non sono banali, è solo che probabilmente fai matematica in modo diverso e meno approfondito che a matematica.
Anche le equazioni diffrenziali, quando le ho poi viste a un corso a matematica, voleva andare a fare causa agli economisti per come ce le avevano insegnate.
Forse però ora voi ne fate di più rispetto a prima.

In merito alla funzione caratteristica, vedo se posso aiutarti, non è che sia esperta del settore, finanza ne so poco o niente, tranne due esami di matematica finanziaria a suo tempo.
Però, scusa ma la citazione da dove è? Senza contesto non ci capisco.

Grazie ancora gabriella! Allora… Guarda qui: https://www.politesi.polimi.it/bitstream/10589/108755/1/2015_07_Casati.pdf
A pag. 31, Proposizione 3.1 da 3.1.12 e 3.1.14, l'autore afferma (come il mio docente del resto) che $\phi_j$ (che io denoto con $f_j$) sono le funzioni caratteristiche di $P_j, \forall j=1,2$. A loro volta $P_j$ sono le probabilità presenti nella formula di pricing per una call europea secondo Heston $C_t=S_tP_1+Ke^(-r(T-t))P_2$ le cui EDO associate sono state compattate nella seguente unica equazione differenziale sotto l'ipotesi che il contingent claim considerato sia proprio una call europea : $ (\partialP_j)/(\partialt)+\rho\sigmav(\partial^2P_j)/(\partialx\partialP)+1/2v(\partial^2P_j)/(\partialx^2)+1/2\sigma^2v(\partial^2P_j)/(\partialv^2)+(r+u_jv)(\partialP_j)/(\partialx)+(a-b_jv)(\partialP_j)/(\partialv)=0 $, dove $u_1:=1/2$, $u_2:=-1/2$, $a:=k\theta$, $b_1:=k+\lambda-\rho\sigma$ e $b_2:=k+\lambda$.
Ora, la proposizione 3.13 (che descrive la condizione di Gil-Pelaez, la cui derivazione è stata possibile ricorrendo alla trasformata ed antitrasformata di Fourier) definisce la formula chiusa per il calcolo di tali probabilità. Quello che non capisco è il passaggio alla proposizione successiva, quando dice che le funzioni caratteristiche associate a $P_j$ sono date da quell'esponenziale (che riprende esattamente la forma chiusa dei modelli affini). Cioè… Nel dimostrare tale condizione anche il docente conclude ponendo $\varphi(u)$ (che la trasformata di Fourier) al posto di $f_j(u,x,v)$ (con $x:=ln(S)$), quindi ne deduco che trasformata di Fourier e funzione caratteristica siano la stessa cosa. Allora che senso avrebbe andare a vedere come è fatta la funzione caratteristica associata a $P_j$? Non è proprio la trasformata di Fourier?

[gabriella127]

Perdonami mobley, ma non ci capisco neanche col contesto...
Pensavo fosse una cosa meno 'finanziaria'.
Io ho fatto economia, non finanza, di finanza so poco o niente, più prossimo al niente.

Se fossi in te andrei a chiedere direttamente al professore, senza perdere tempo. Non avere paura di fare domande stupide, di sicuro non lo sono. Non so se hai chiesto ad altri studenti, ma se queste cose non le avete fatte, è possibile che non abbia capito nessuno.
Forse il professore non sa nemmeno che non le avete fatte.

Se ti scoccia andare dal professore, chiedi eventualmente ai moderatori di spostare il post in Statistica e probabilità, lì hai qualche chance in più di trovare risposte.

[axpgn]

Ma poi li trova tommik che lo "travolge"

Scusatemi ma non ho resistito ...

[gabriella127]

Magari lo travolgesse con spiegazioni.

[gabriella127]

Grazie mille gabriella, sia per la risposta che per la solidarietà. Non mi sento granché compreso qui tra i matematici, che spesso etichettano le mie domande come banali (se non peggio)

Guarda invece i complimenti che ti ha fatto una persona esperta come dissonance, nel tuo post su analisi 1 e 2

[gugo82]

Non mi sento granché compreso qui tra i matematici, che spesso etichettano le mie domande come banali (se non peggio)

“Banale” in connessione con le domande che poni non l’ho mai letto.
Al massimo, non ci capiamo perché tu non hai acquisito il linguaggio minimo per riuscire a descrivere ciò di cui vorresti parlare; questo fatto si coglie da numerosi particolari dei tuoi post, come notato altrove (da dissonance e da me).

La morale è che per parlare di Finanza devi studiare Matematica, tanta e ben più complessa di quella dell’unico esamino di Calcolo + Algebra Lineare + cenni di Probabilità usualmente presente nei cc.dd.ll. di Economia e affini.

Proprio per questa carenza di basi matematiche, qui in Italia sforniamo economisti e finanzieri di livello infimo¹…

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Note

1. Bada bene: non mi riferisco in particolare a te, che il problema te lo poni e cerchi di risolverlo, ma alla maggioranza degli studenti che va a dare esami ed a discutere tesi su argomenti dei quali non riesce sempre a cogliere il senso e/o il significato. ↑