Avrei una piccola domanda ''di riepilogo'' circa il calcolo dei residui nel caso di singolarità al finito/infinito per vedere se le cose mi sono chiare e eventualmente chiarire dei dubbi... se avete voglia di aiutarmi, ne sarei felicissima.
Dunque. Una volta individuate le singolarità, guardo cosa succede quando calcolo il limite per z che tende alla singolarità
$ lim_(x ->a) f(z) $ se viene infinto, è un polo. Se non esiste è una singolarità essenziale e se viene un numero finito è eliminabile.
Nel caso di polo, calcolo il residuo (dopo aver trovato l'ordine del polo) tramite la formula
$ 1/((N-1)!) d^(N-1)/(dz^(N-1))(z-a)^N f(z) $ valutando f(z) nella singolarità (perdonate, ma non sapevo come scriverlo il ''valutato in '' ).
Se la singolarità è eliminabile, il polo è 0 perché è nulla la parte singolare della serie di Laurent.
Se la singolarità è essenziale, sviluppo in serie di Laurent e prendo il coefficiente $ c_(-1) $ . Domanda... mettiamo che sviluppo la funzione, faccio un esempio con una funzione che ha una singolarità essenziale
$ zsin(1/z) $ ottengo $ sum_(n =0)^infty (-1)^n/((2n+1)!)z^(-2n) $. Ora porrei $ -2n=-1 $ il che mi darebbe $ n=1/2 $ . Cosa devo dedurre? dato che il numero non è intero, penso che la parte singolare non ci sia e che quindi il residuo sia 0. Se mi fosse venuto un numero negativo avrei dovuto prendere il prima successivo positivo come n?
Nel caso di singolarità all'infinito, ho capito che: se la singolarità è un polo, considero il coefficiente $ -c_-1 $ della serie di Laurent. Nei restanti due casi, applico $ -Res(g(w)/w^2,0) $
