Numeri di zeri di un polinomio con modulo minore di 1

[amatrix]

Ho postato qui perché immagino ci sia una soluzione che utilizzi analisi complessa; non escludo anche la possibilità di una soluzione algebrica e in tal caso invito i moderatori a spostare.

Mi sono imbattuto nel problema di individuare il numero di radici di un polinomio con modulo minore di 1 studiando Analisi numerica.

La prima domanda è come dimostrare la seguente affermazione:

Sia $p(z)=\sum_{i=0}^n a_i z^i$. Allora, fissati tutti i coefficienti, se faccio tendere uno di essi, sia esso $a_i$ a $+\infty $ allora le radici con modulo minore di $1$ saranno per $a_i$ sufficientemente grande esattamente $i$.


In generale esiste un risultato preciso che mi dice come deve essere l' i-esimo coefficiente del polinomio rispetto a tutti gli altri per avere la certezza che il polinomio abbia $i$ radici nel cerchio unitario?