residuo all'infinito

[FabioA_97]

$ f(z)=e^(1/(z-1))/(z^2(z^2+4) $
il professore ha detto che siccome la funzione $ f $ ha all'infinito uno zero del quart'ordine allora $ Res(f,oo)=0 $

il fatto che il residuo all'infinito sia zero dipende dal fatto che lo zero è del quarto ordine o il residuo sarebbe stato zero anche se la funzione all'infinito avesse avuto uno zero del primo ordine ?

[FabioA_97]

tende a 0, quindi?

[FabioA_97]

ha un polo del primo ordine il cui residuo vale 1

[FabioA_97]

ah scusa, all'infinito non ha singolarità, quindi non bisogna calcolare il residuo...o sbaglio?

[dissonance]

@arnett: secondo me si fa prima a ricordare la definizione: il residuo all'infinito di \(f\) è uguale al residuo a zero di
\[
\frac{-1}{w^2}f\left(\frac{1}{w}\right), \]
e questa formula si ricorda applicando il cambio di variabile \(z=\frac1w\) alla forma differenziale
\[
f(z)dz.\]
Se \(f(z)=\frac1z\), allora
\[
\frac{-1}{w^2}f\left(\frac{1}{w}\right)=\frac{-1}{w},\]
che ha residuo \(-1\) per \(w=0\).

Sto solo ridicendo in formule ciò che arnett ha detto a parole

[gugo82]

Tuttavia, se $f$ ha uno zero in $oo$ d’ordine sufficientemente elevato, il residuo sì è zero.
Per trovare quanto grande deve essere l’ordine dello zero basta provare a fare i conti.